卡特兰数 (Catalan)

卡特兰数：（是一个在计数问题中出现的数列）

一般项公式：

1.         或       2.  

递归公式：

1.  或

2.

注：全部可推导。

（性质：C_n为奇数时，必然出现在奇数项 2^k-1。 (除去第 0 项))

应用举例：

1. 连乘的 n 个数加括号。 答案： C_n-1

2. 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?  答案：C_n

引申1：入栈看作 1 操作, 出栈看作 0 操作，则整个序列入栈出栈后从左到右遍历 1 和 0 组成的序列，1 的个数总是不小于 0 的个数，且 1 和 0 各 n（入栈 n 次，出栈 n 次） 个。因此， n 个 1 和 n 个 0 组成的全部满足条件 1 出现次数不少于 0 的序列数为:  C_n

引申2： 将 1 看成 '(', 0 看成 ')'， 则由 n 对 "()" 组成的有效序列 ['(' 在 ')' 之前] 个数为： C_n

3.  n 个结点的二叉树个数: C_n

4.  n+2边的凸多边形分三角形方法的个数： C_n

5.  平面上连接可以形成凸包的2n个点分成2个一组连成n条线段，两两线段之间不相交的情况总数是：C_n