Loj #2494. 「AHOI / HNOI2018」寻宝游戏

题目描述

某大学每年都会有一次 Mystery Hunt 的活动，玩家需要根据设置的线索解谜，找到宝藏的位置，前一年获胜的队伍可以获得这一年出题的机会。

作为新生的你对这个活动非常感兴趣。你每天都要从西向东经过教学楼一条很长的走廊，这条走廊是如此的长，以至于它被人戏称为 infinite corridor。一次，你经过这条走廊的时，注意到在走廊的墙壁上隐藏着 \(n\) 个等长的二进制的数字，长度均为 \(m\)。你从西向东将这些数字记录了下来，形成一个含有 \(n\) 个数的二进制数组 \(a_1, a_2, ..., a_n\)。很快，在最新的一期 Voo Doo 杂志上，你发现了 \(q\) 个长度也为 \(m\) 的二进制串 \(r_1, r_2, ..., r_q\)。聪明的你很快发现了这些数字的含义。保持数组 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 的元素顺序不变,你可以在它们之间插入 \(\wedge\)（按位与运算）或者 \(\vee\)（按位或运算）两种二进制运算符。例如：\(11011 \wedge 00111=00011,11011 \vee 00111=11111\)。

你需要插入恰好 \(n\) 个运算符,相邻两个数之间恰好一个，在第一个数的左边还有一个。如果我们在第一个运算符的左边补入一个 \(0\)，这就形成了一个运算式，我们可以计算它的值。与往常一样,运算顺序是从左往右。有趣的是,出题人已经告诉你这个值的可能的集合——Voo Doo 杂志里的那一些二进制数 \(r_1, r_2, ..., r_q\)，而解谜的方法,就是对 \(r_1, r_2, ..., r_q\) 中的每一个值 \(r_i\)，分别计算出有多少种方法填入这 \(n\) 个运算符,使得这个运算式的值是 \(r_i\) 。然而，infinite corridor 真的很长，这意味着数据范围可能非常大。因此，答案也可能非常大，但是你发现由于谜题的特殊性，你只需要求答案模 \(1000000007\)（\(10^9 + 7\)，一个质数）的值。

输入格式

第一行三个数 \(n, m, q\)，含义如题所述。

接下来 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行有一个长度为 \(m\) 的二进制串，左边是最高位，表示 \(a_i\)。

接下来 \(q\) 行，其中第 \(i\) 行有一个长度为 \(m\) 的二进制串，左边是最高位，表示 \(r_i\)。

输出格式

输出 \(q\) 行，每行一个数,其中第 \(i\) 行表示对应于 \(r_i\) 的答案。

数据范围与提示

对于 \(10\%\) 的数据，\(n \le 20, m \le 30\)，\(q = 1\)

对于另外 \(20\%\) 的数据，\(n \le 1000\)，\(m \le 16\)

对于另外 \(40\%\) 的数据，\(n \le 500\)，\(m \le 1000\)

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 1000\)，\(1 \le m \le 5000\)，\(1 \le q \le 1000\)

\(\\\)

\(myy\)的题就是神仙啊！

首先我们对每一位单独考虑，再将\(m\)位的一起考虑。

我们将操作序列也定义为一个\(01\)串。如果是\(and\)操作，则为\(1\)，否则为\(0\)。

我们发现：

\[x\ and\ 0=0\\
x\ or\ 1=1
\]

也就是说\(\ and\ 0\)和\(\ or\ 1\)本质上是赋值操作。

然后

\[x\ and\ 1=x\\
x\ or\ 0=x
\]

也就是说\(\ and\ 1\)和\(\ or\ 0\)后上值不变。

然后考虑第\(j\)位，如果它应该为\(1\)，则最后一个赋值操作后第\(j\)位变成了\(1\)。然后我们观察操作序列和第\(j\)列的\(01\)串之间的关系。赋值操作的时候对应位置上的数不同。所以，我们以\(n\)为最高位，设第\(j\)列的数字为\(s_j\),操作序列的数字为\(R\)，则\(R>s_j\)。

反之，则\(R\leq s_j\)。

所以我们将\(m\)列数字排序过后找到上下界就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1005
#define M 5005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=1e9+7;
int n,m,q;
char a[N][M],r[M];
ll pw2[M];
int len;
const ll maxx=1<<30;
int rk[M];
struct node {
	int id;
	ll val[50];
	bool operator <(const node &x)const {
		for(int i=len;i>=1;i--) if(val[i]!=x.val[i]) return val[i]<x.val[i];
		return id<x.id;
	}
}s[M];
node operator -(node a,node b) {
	for(int i=1;i<=len;i++) {
		if(a.val[i]<b.val[i]) {
			a.val[i+1]--;
			a.val[i]+=maxx;
		}
		a.val[i]-=b.val[i];
	}
	return a;
}
ll bin[N];
int main() {
	n=Get(),m=Get(),q=Get();
	pw2[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) pw2[i]=pw2[i-1]*2%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",a[i]+1);
	len=(n-1)/30+1;
	for(int i=1;i<=m;i++) s[i].id=i;
	for(int j=n;j>=1;j--) {
		int now=(j-1)/30+1;
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			s[i].val[now]=(s[i].val[now]<<1)|(a[j][i]-'0');
		}
	}
	sort(s+1,s+1+m);
	for(int i=1;i<=m;i++) rk[s[i].id]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int now=(i-1)/30+1;
		s[m+1].val[now]=(s[m+1].val[now]<<1)|1;
	}
	for(int i=1;i<len;i++) bin[i]=i*30;
	bin[len]=bin[len-1]+(n-1)%30+1;
	s[0].id=0,s[m+1].id=m+1;
	int tim=0;
	while(q--) {
		scanf("%s",r+1);
		int lx=0,rx=m+1;
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			if(r[i]=='1') rx=min(rx,rk[i]);
			else lx=max(lx,rk[i]);
		}
		if(lx>=rx) cout<<0<<"\n";
		else {
			ll ans=0;
			node c=s[rx]-s[lx];
			for(int i=1;i<=len;i++) (ans+=c.val[i]*pw2[bin[i-1]])%=mod;
			if(rx==m+1) ans=(ans+1)%mod;
			cout<<ans<<"\n";
		}
	}
	return 0;
}