洛谷P4774 [NOI2018]屠龙勇士 [扩欧，中国剩余定理]

传送门

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思路

首先可以发现打每条龙的攻击值显然是可以提前算出来的，拿multiset模拟一下即可。

一般情况

可以搞出这么一些式子：

\[atk_i\times x=a_i(\text{mod}\ p_i)
\]

简单处理一下就变成这样：

\[atk_i\times x +p_i \times y=a_i
\]

显然可以扩欧搞出一组特解\((x',y')\)，那么就有

\[x=x'(\text{mod}\ \frac{p_i}{\gcd(atk_i,a_i)})
\]

然后扩展中国剩余定理合并一下即可。

特殊情况

\(a_i>p_i\)时显然不能用上面的方法，但数据保证此时\(p_i\)等于1，那么直接输出\(max\{\lceil \frac{a_i}{atk_i}\rceil\}\)即可。

若全部\(a_i=p_i\)时会解出\(x=0\)，此时要输出\(lcm\{a_i\}\)。

\(p_i|atk_i\)时一般是无解的，但如果同时满足\(p_i=a_i\)那么这个方程没有用，可以换成\(x=0(\text{mod}\ 1)\)。

然后就做完啦。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 110010
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
	inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
	inline void print(register int x)
	{
		if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
		while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
		while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
	}
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m;
ll a[sz],p[sz];
ll _[sz];
ll atk[sz];
void work1()
{
	ll ans=0;
	rep(i,1,n) chkmax(ans,(a[i]+atk[i]-1)/atk[i]);
	printf("%lld\n",ans);
}
struct hh{ll a,p;}s[sz]; /*x%p==a*/
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if (!b) return x=1,y=0,a;ll ret=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return ret;}
ll mul(ll x,ll y,const ll &mod){x=(x%mod+mod)%mod,y=(y%mod+mod)%mod;ll ret=0;for (;y;y>>=1,x=(x+x)%mod) if (y&1) ret=(ret+x)%mod;return ret;}
void excrt(ll &ret,ll &mod)
{
	ll a=0,p=1,x,y;
	rep(i,1,n)
	{
		ll g=exgcd(p,s[i].p,x,y),s1=p/g,s2=s[i].p/g;
		if ((s[i].a-a)%g!=0) return (void)(ret=-1,mod=-1,puts("-1"));
		exgcd(s1,s2,x,y);x=(x%s2+s2)%s2;
		ll _p=p/g*s[i].p;
		a=(a+mul(p,mul(x,(s[i].a-a)/g,s2),_p))%_p;
		p=_p;
	}
	ret=a,mod=p;
}
void work2()
{
	rep(i,1,n)
	{
		if (atk[i]%p[i]==0)
		{
			if (a[i]==p[i]) s[i]=(hh){0,1};
			else return (void)(puts("-1"));
		}
		ll x,y;
		ll gcd=exgcd(atk[i],p[i],x,y);
		if (a[i]%gcd!=0) return (void)(puts("-1"));
		ll mod=p[i]/gcd;
		x=mul(x,a[i]/gcd,mod);
		s[i]=(hh){x,mod};
	}
	ll x,mod;
	excrt(x,mod);
	if (x==-1&&mod==-1) return;
	if (!x)
	{
		ll ans=1,_,__;
		rep(i,1,n) ans=ans/exgcd(ans,a[i],_,__)*a[i];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	else printf("%lld\n",x);
}
void work()
{
	read(n,m);
	rep(i,1,n) read(a[i]);
	rep(i,1,n) read(p[i]);
	rep(i,1,n) read(_[i]);
	multiset<ll>s;
	int x;
	rep(i,1,m) read(x),s.insert(x);
	rep(i,1,n) { auto it=s.upper_bound(a[i]); if (it!=s.begin()) --it; atk[i]=*it; s.erase(it); s.insert(_[i]); }
	bool flg=1;
	rep(i,1,n) flg&=(p[i]==1);
	if (flg) work1();
	else work2();
}
int main()
{
	file();
	int T;read(T);
	while (T--) work();
	return 0;
}