【ACM/ICPC2013】二分图匹配专题
前言:居然三天没有更新了。。我的效率实在太低,每天都用各种各样的理由拖延,太差了!昨天的contest依旧不能让人满意,解出的三题都是队友A的,我又卖了一次萌。。好吧废话不多说,今天我要纪录的是二分图相关的一些算法及题目,希望通过这种方式加深自己对二分图的理解(其实还没完全理解。。)
二分图的最大匹配
二分图最大匹配的题目最重要的是建模,模型建出来后,通过各种定理转化成二分图的最大匹配来做,还是很方便的,下面是几个重要定理:
- 二分图的最小点集覆盖=二分图的最大匹配
- 有向图的最小路径覆盖=N-转化后二分图的最大匹配
- 二分图的最大独立集=二分图的最小边覆盖=N-二分图的最大匹配
- 二分图的最大团=补图的最大独立集
匈牙利算法模板:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
bool g[][];
int n,m,ans;
bool b[];
int link[];
bool init()
{
int _x,_y;
memset(g,,sizeof(g));
memset(link,,sizeof(link));
ans=;
if(scanf("%d%d",&n,&m)==EOF)return false;
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&_x);
for(int j=;j<_x;j++)
{
scanf("%d",&_y);
g[ i ][_y]=true;
}
}
return true;
}
bool find(int a)
{
for(int i=;i<=m;i++)
{
if(g[a][ i ]==&&!b[ i ])
{
b[ i ]=true;
if(link[ i ]==||find(link[ i ]))
{
link[ i ]=a;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
while(init())
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
memset(b,,sizeof(b));
if(find(i))ans++;
}
printf("%d\n",ans);
}
}
稳定婚姻系统
稳定婚姻系统,举一个很简单易懂的例子:有N个男生和M个女生要配对成情侣,每个男生都有一个按照喜欢程度由高到低的心仪女生的列表,每个女生对男生同样。一个稳定婚姻系统,是指对任意一对情侣(a,b),不存在另一对情侣(c,d),使得a更喜欢d,d也更喜欢a,同理,不存在另一对情侣(e,f),使得e更喜欢b,b也更喜欢e。
求解这个问题可以用一个专有的算法,延迟认可算法,其核心就是让每个男生按自己喜欢的顺序逐个向女生表白,例如leokan向一个女生求爱,这个过程中,若这个女生没有男朋友,那么这个女生就暂时成为leokan的女朋友,或这个女生喜欢她现有男朋友的程度没有喜欢leokan高,这个女生也暂时成为leokan的女朋友,而她原有的男朋友则再将就找下一个次喜欢的女生来当女朋友。(摘自leokan百度空间)
下面的算法框架由Gale和Shapley于1962年提出,在此膜拜一下(摘自维基百科)
函数 稳定婚姻 {
初始所有 m
M 与 w
W 为 单身
当
单身 男子 m {
w = m所有可考虑的女子中排名最高的
若 w 是 单身
撮合 (m, w)
否则 有些夫妇 (m', w) 存在
若 w 喜欢 m 更于 m'
(m, w) 为 夫妇
m' 为 单身
否则
(m', w) 仍为 夫妇
}
}
稳定婚姻系统的应用:任务分配、大学联合招生
二分图最大/最小权匹配
什么是二分图的带权匹配?二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合,使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配,在此基础上,才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价,也不互相包含。(摘自BYVoid博客)
首先介绍一下KM算法:
KM算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i],顶点Yi的顶标为B [i],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现:
两端都在交错树中的边(i,j),A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j),A[i]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶 标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改 顶标后,要把所有的slack值都减去d。(摘自CrazyAC)
评价:反正KM算法我一开始看了好几遍都不是很懂,现在还没有特别明白,不过脑子里大概有这么一个感觉:最外层for循环n次,保证能构成一个完备匹配,内层不断修改顶标,使得不断有边加入能构成一条新的增广路,每找到一条就跳出while循环,执行下一轮循环。
KM算法就是用来解决二分图最佳匹配问题的,时间复杂度是O(N^3)。BYVoid大牛根据不同的情况对KM算法进行了转化:
[KM算法的几种转化]
- KM算法是求最大权完备匹配,如果要求最小权完备匹配怎么办?方法很简单,只需将所有的边权值取其相反数,求最大权完备匹配,匹配的值再取相反数即可。
- KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配,如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办?依然很简单,把不存在的边权值赋为0。
- KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大,如果我想要边权之积最大,又怎样转化?还是不难办到,每条边权取自然对数,然后求最大和权匹配,求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。
KM算法模板:(题目来源:HDU2255)
//
// HDU2255.cpp
// POJ
//
// Created by TimmyXu on 13-8-4.
// Copyright (c) 2013年 TimmyXu. All rights reserved.
//
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
const int maxn = + ;
int l[maxn],r[maxn],match[maxn],g[maxn][maxn],n,ans,d;
bool lv[maxn],rv[maxn];
void Init()
{
memset(g,,sizeof(g));
for (int i = ;i <= n;i++)
for (int j = ;j <= n;j++)
scanf("%d",&g[i][j]);
for (int i = ;i <= n;i++)
l[i] = INT_MIN;
memset(r,,sizeof(r));
memset(match,,sizeof(match));
}
bool check(int x)
{
lv[x] = true;
for (int y = ;y <= n;y++)
if (!rv[y])
{
int t = l[x]+r[y]-g[x][y];
if (t == )
{
rv[y] = true;
if (match[y] == || check(match[y]))
{
match[y] = x;
return true;
}
}
else d = min(d,t);
}
return false;
}
void KM()
{
for (int i = ;i <= n;i++)
for (int j = ;j <= n;j++)
l[i] = max(l[i],g[i][j]);
for (int i = ;i <= n;i++)
while(true)
{
memset(lv,false,sizeof(lv));
memset(rv,false,sizeof(rv));
d = INT_MAX;
if (check(i)) break;
for (int j = ;j <= n;j++)
{
if (lv[j]) l[j]-=d;
if (rv[j]) r[j]+=d;
}
}
ans = ;
for (int i = ;i <= n;i++)
ans += g[match[i]][i];
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
Init();
KM();
}
}
二分图最大权问题还可以用费用流来做,关于网络流相关内容我准备今天下午开始研究,作为这几天的研究重点。
总结:关于二分图的题目我做的比较少,因此建模方面的能力还比较欠缺,要在平时过程慢慢积累,不能偷懒,要勤于刷题。下面网络流专题是一座大山,要投入足够多的精力,储备足够多的智商才能搞定吧。
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