《Mathematical Olympiad——组合数学》——抽屉原理

抽屉原理可以说是组合数学中最简单易懂的一个原理了，其最简单最原始的一个表达形式：对于n本书放到n-1个抽屉中，保证每个抽屉都要有书，则必存在一个抽屉中有2本书。但是这个简单的原理在很多问题中都能够巧妙的应用到，融合将问题一步步抽象转化来接近抽屉原理的原始模型，是用好抽屉原理的关键。

问题一：两个半径相等的圆盘上各有一个内接正2n边形，每个正2n边形的顶点有一半染上黄色，一般染上蓝色，将这一个圆盘放在另一个圆盘上并使得两个正2n边形的顶点均重合，这样得到2n对顶点，如果一对顶点中两个重合的顶点颜色相同，则称其为“匹配点对”。证明：存在一种放置方式，使得至少有n对匹配点对。

证明：我们首先从任意一种重合方式开始，用a1表示当前方式含有的匹配点对的个数，然后我们将其中一个圆盘旋转2n - 1次，每次旋转的角度π/n，这样我们便得到了多有的放置方法——{a1,a2,a3……a(2n)}。考察所有情况匹配点对的总和，利用简单的计数原理，我们得到等式：a1 + a2 + a3+……+a(2n) = 2n*n，由此再利用抽屉原理，得证。

问题二：正整数1~200分成50个集合。证明：可以从其中某一个集合中找出三个数，它们形成三角形的三边之长。

证明：我们考虑100~200这101个数字，分到50个集合当中，必然存在3个数字分到某个集合当中，考察分布在[100,200]的整数，任取三个数都是满足三角形三边定理的，得证。

问题三：一次射箭比赛共有30名选手参加。将靶子分为两个区域，规定：射中区域一得10分，射中区域二得5分，未射中靶子不得分，每名选手射16箭。比赛结束后，统计显示射中区域二的箭超过50%，射中区域一和未射中靶子的箭数相同。证明：有两名选手得分相同。

证明：我们设第i个人射中区域一、区域二、未射中的箭数分别是ai、bi、ci.则首先有∑ai = ∑ci < 16*30 /4 = 120.

第i个选手的得分可以这样表示：10ai + 5bi = 5ai + 5(ai + bi) = 5ai + 5(16 - ci) = 80 + 5(ai - ci)。

现在考虑反证法，假设30个选手的分数各不相同，则ai - ci有30个各不相同的取值。考虑到ai - ci∈[-16 , 16]，由抽屉原理得，存在满足ai-ci>0或ai - ci < 0的组数大于等于15的情况，我们以ai - ci > 0为例，我们将ai - ci按照严格递增的顺序排列，则有ai - ci >=i ， 所以ai >= i.

因此，对于满足ai - ci > 0的ai，有不等式∑ai >= 1 + 2 + 3+……+15 = 120成立，这与已知事实矛盾，因此假设不成立。

证毕。

证明：