[HZOI 2015]疯狂的机器人
【题目描述】
现在在二维平面内原点上有一只机器人
他每次操作可以选择向右走,向左走,向下走,向上走和不走(每次如果走只能走一格)
但是由于本蒟蒻施展的大魔法,机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上
否则他就会big bang
给定操作次数n,求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点
输出答案模998244353后的结果
注意如果两个操作序列存在某一时刻操作不同,则我们认为这两个操作序列不同
【输入格式】
输入n,表示操作次数
n<=100000
【输出格式】
按要求输出答案
【样例输入】
3
【样例输出】
7
【提示】
样例解释:
机器人有7种操作序列
1、不走 不走 不走
2、不走 向右 向左
3、向右 不走 向左
4、向右 向左 不走
5、不走 向上 向下
6、向上 不走 向下
7、向上 向下 不走
将操作分3类:向上下,向左右,不动
$f[i]$表示只考虑前两类走i步到原点的方案数
$$f[n]=\sum_{i=0}^{n}a[i]*a[n-i]*\binom{n}{i}$$
$a[i]$表示向上向下(或向左向右)走i步回到原点的方案数
显然i为偶数时才有方案否则$a[i]$为0
然后不动就直接枚举f
$$ans=\sum_{i=0}^{n}f[i]*\binom{n}{i}$$
$a[i]$显然就是卡特兰数第$i/2$项
因为任意时刻向上的前缀和总是大于向下的
至于卷积就直接把组合数拆开,把分母分到a上,即:
$$a[i]=C[i/2]*i!^{-1}$$
NTT求出f后再乘上$n!$
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef int lol;
const int N=;
int Mod=;
int G=;
int a[*N],fac[*N],R[*N],ifac[*N],inv[*N],c[*N],f[*N],ans;
int qpow(int x,int y)
{
int res=;
while (y)
{
if (y&) res=1ll*res*x%Mod;
x=1ll*x*x%Mod;
y>>=;
}
return res;
}
void NTT(int *A,int len,int o)
{int wn,w,i,j,k,x,y;
for (i=;i<len;i++)
if (i<R[i]) swap(A[i],A[R[i]]);
for (i=;i<len;i<<=)
{
wn=qpow(G,(Mod-)/(i<<));
if (o==-) wn=qpow(wn,Mod-);
for (j=;j<len;j+=(i<<))
{
w=;
for (k=;k<i;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
{
x=A[j+k];y=1ll*w*A[j+k+i]%Mod;
A[j+k]=x+y;
if (A[j+k]>=Mod) A[j+k]-=Mod;
A[j+k+i]=x-y;
if (A[j+k+i]<) A[j+k+i]+=Mod;
}
}
}
if (o==-)
{
int tmp=qpow(len,Mod-);
for (i=;i<len;i++)
A[i]=1ll*A[i]*tmp%Mod;
}
}
int main()
{
int i,len,lg,n;
scanf("%d",&n);
memset(a,,sizeof(a));
fac[]=fac[]=ifac[]=ifac[]=inv[]=;
for (i=;i<=n*;i++)
{
inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
fac[i]=1ll*fac[i-]*i%Mod;
ifac[i]=1ll*ifac[i-]*inv[i]%Mod;
}
for (i=;i<=n;i++)
c[i]=1ll*fac[i<<]*ifac[i]%Mod*ifac[i]%Mod*inv[i+]%Mod;
a[]=;
for (i=;i<=n;i++)
if ((i&)==)
a[i]=1ll*c[i>>]*ifac[i]%Mod;
len=;
while (len<=*n) len*=,lg++;
for (i=;i<len;i++)
R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(lg-));
NTT(a,len,);
for (i=;i<len;i++)
a[i]=1ll*a[i]*a[i]%Mod;
NTT(a,len,-);
for (i=;i<=n;i++)
f[i]=1ll*a[i]*fac[i]%Mod;
for (i=;i<=n;i++)
ans=1ll*(ans+1ll*f[i]*fac[n]%Mod*ifac[i]%Mod*ifac[n-i]%Mod)%Mod;
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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