hdu 4609 3-idiots <FFT>

链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609

题意: 给定 N 个正整数, 表示 N 条线段的长度, 问任取 3 条, 可以构成三角形的概率为多少~

数据范围: N<=10^5 ~~

思路:设三边分别为 x, y, z (x<=y<=z) 枚举 z ,统计 x+y 大于 z 的数目 .

比赛时能想到的只有 O(n^2) 的算法,无力 AC~

赛后才知道有种东西叫 FFT ~

以下为官方解题报告:

/*

　　记录 A_i 为长度为 i 的树枝的数量，并让 A 对它本身做 FFT，得到任意选两个树枝能得到的各个和的数量。枚举第三边，

计算出所有两边之和大于第三条边的方案数，并把前两条边包含最长边的情况减掉就是答案。

*/

设长度为 a1,a2, ....an, 统计每种长度个数为 cnt[ ai ] ; 可表示多项式      

多项式自乘后， 其指数即为 ai + aj 的值， 系数即为 方案数， 减去不合法的即为所求~

 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 typedef __int64 LL;
 const double pi=acos(-);
 const int MAXN=3e5;
 const double eps=1e-;
 struct C
 {
     double r, i;
     C (){}
     C(double _r, double _i):r(_r),i(_i){}
     inline C operator +(const C a)const{
     return C(r+a.r, i+a.i);
     }
     inline C operator - (const C a)const {
         return C(r-a.r, i-a.i);
     }
     inline C operator * (const C a)const{
         return C(r*a.r-i*a.i, r*a.i+i*a.r);
     }
 }a[MAXN], b[MAXN];
 int num[MAXN], cnt[MAXN];
 LL res[MAXN], sum[MAXN];

 void brc(C *y,int l) // 二进制平摊反转置换 O(logn)
 {
     register int i,j,k;
     for(i=,j=l>>;i<l-;i++){
         if(i<j)    swap(y[i],y[j]); // 交换互为下标反转的元素
                                 // i<j保证只交换一次
         k=l>>;
         while(j>=k) {// 由最高位检索，遇1变0，遇0变1，跳出
             j-=k;
             k>>=;
         }
         if(j<k)    j+=k;
     }
 }
 void FFT(C *y,int l,int on) // FFT O(nlogn)
                              // 其中on==1时为DFT，on==-1为IDFT
 {
     register int h,i,j,k;
     C u,t;
     brc(y,l); // 调用反转置换
     for(h=;h<=l;h<<=) // 控制层数
     {
         // 初始化单位复根
         C wn(cos(on**pi/h),sin(on**pi/h));
         for(j=;j<l;j+=h) // 控制起始下标
         {
             C w(,); // 初始化螺旋因子
             for(k=j;k<j+h/;k++) // 配对
             {
                 u=y[k];
                 t=w*y[k+h/];
                 y[k]=u+t;
                 y[k+h/]=u-t;
                 w=w*wn; // 更新螺旋因子
             } // 据说上面的操作叫蝴蝶操作…
         }
     }
     if(on==-)    for(i=;i<l;i++)    y[i].r/=l; // IDFT
 }

 int n,  L , Max, T;
 int main() {
     scanf("%d", &T);
     while (T--) {
         Max = ;
         memset(cnt, , sizeof(cnt));
         scanf("%d", &n);
         for (int i = ; i < n; ++i) {
             scanf("%d", num + i);
             cnt[num[i]]++;
             Max = max(Max, num[i]);
         }
         ++Max;L = ;
         while (L < Max <<) {
             L <<= ;
         }
         for (int i = ; i < Max; ++i) {
             a[i] = C(cnt[i], );
         }

         for (int i = Max; i < L; ++i) {
             a[i] = C(, );
         }
         FFT(a, L, );
         for (int i = ; i < L; ++i)
             a[i] = a[i] * a[i]; // 多项式自乘
         FFT(a, L, -);

         for (int i = ; i < L; ++i) {
             res[i] = (LL) (a[i].r + 0.5);
         }

         for (int i = ; i <= Max; ++i)
             res[i << ] -= cnt[i];// 自己和自己乘， 即 枚举的是 x+x 的 

         for (int i = ; i < L; ++i)
             res[i] >>= ; //  x+y 与  y+x 算一次
         for (int i = ; i < L; ++i) {  //前缀和
             sum[i] = sum[i - ] + res[i];
         }
         double tot = , den =  1.0*n * (n - ) * (n - )/;

         for (int i = ; i < n; ++i) {
             tot += sum[num[i]] / den;//  x+y<=z 的个数 

         }
         double ans =  - tot ;
         printf("%.7f\n", ans);
     }

     return ;
 }