[BZOJ 3144] 切糕

Link:

BZOJ 3144 传送门

Solution:

发现要把点集分成不连通的两部分，最小割的模型还是很明显的

首先我们将原图转化为$R+1$层，从而将点权化为边权

关键还是在于建图是怎么保证$|h_i-h_j|<=D$这个条件

要保证$|h_i-h_j|<=D$这个条件也就意味着选了$i$就不能选$j$，但仍然要保证$i->j$的连通性

于是我们由$i+D$向$i$连一条边权为$INF$的边，

这样如果割掉$i,j(j>i+D)$但不选择它们之间的边，就不会影响ST的连通性

只能再割掉$INF$边或其他边，这样两边同时选择明显不会计入答案

同时$i,j(j<=i+D)$就不会出现这样的问题，于是通过设置$INF$边就解决了这个问题

如上图，如果仅割掉右侧绿边和左侧红边，中间黑色的$INF$边仍会保持ST的连通性

Code:

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int MAXN=**;
const int INF=;
int P,Q,R,D,S,T,id[][][],iter[MAXN],level[MAXN],cnt=,x;
int dx[]={,,,-},dy[]={,-,,};
struct edge
{
    int to,cap,rev;
};
vector<edge> G[MAXN];
 
void add_edge(int from,int to,int cap)
{
    G[from].push_back(edge{to,cap,G[to].size()});
    G[to].push_back(edge{from,,G[from].size()-});
}
 
bool bfs()
{
    memset(level,-,sizeof(level));
    queue<int> que;que.push(S);level[S]=;
    while(!que.empty())
    {
        int v=que.front();que.pop();
        for(int i=;i<G[v].size();i++)
        {
            edge &e=G[v][i];
            if(e.cap && level[e.to]==-)
                level[e.to]=level[v]+,que.push(e.to);
        }
    }
    return (level[T]>);
}
 
int dfs(int v,int f)
{
    if(v==T) return f;
    for(int &i=iter[v];i<G[v].size();i++)
    {
        edge &e=G[v][i];
        if(level[e.to]==level[v]+ && e.cap)
        {
            int d=dfs(e.to,min(f,e.cap));
            if(d)
            {
                e.cap-=d;G[e.to][e.rev].cap+=d;
                return d;
            }
        }
    }
    return ;
}
 
int Dinic()
{
    int ret=;
    while(bfs())
    {
        memset(iter,,sizeof(iter));
        int f;
        while((f=dfs(S,INF))>) ret+=f;
    }
    return ret;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&P,&Q,&R,&D);
    S=;
    for(int i=;i<=R+;i++) for(int j=;j<=P;j++) for(int k=;k<=Q;k++)  //预处理出编号
        id[i][j][k]=++cnt;
    T=++cnt;
 
    for(int i=;i<=R;i++) for(int j=;j<=P;j++) for(int k=;k<=Q;k++)
        scanf("%d",&x),add_edge(id[i][j][k],id[i+][j][k],x);
 
    for(int i=;i<=P;i++) for(int j=;j<=Q;j++)
        add_edge(S,id[][i][j],INF),add_edge(id[R+][i][j],T,INF);
 
    for(int i=D+;i<=R+;i++) for(int j=;j<=P;j++) for(int k=;k<=Q;k++)
        for(int dir=;dir<;dir++)
        {
            int fx=j+dx[dir],fy=k+dy[dir];
            if(!id[i-D][fx][fy]) continue;
            add_edge(id[i][j][k],id[i-D][fx][fy],INF);
        }
 
    printf("%d",Dinic());
    return ;
}

Review:

1、认真审题，不要主观带入

这题一开始想成了切割线必须在同一个平面，还是不能读题时自己想当然啊

2、最小割模型的新套路

最小割的重点便在于割边计入答案

如果不想让两条边同时计入答案，可以在它们之间加入一条$INF$边，

保证同时选择两边时不会影响原图ST的连通性且$INF$边不会影响结果

使得同时选择两边时一定不符合最小的条件，从而不会计入答案

3、点权变边权

可以通过点变边，边变点的方式完成这样的转换