子矩阵(暴搜(全排列)+DP)
子矩阵(暴搜(全排列)+DP)
一、题目
子矩阵
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题目描述
给出如下定义:
1. 子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如,下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2*3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
2. 相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。
3. 矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务:给定一个n行m列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。
输入
第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行,每行包含m个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出
输出共1行,包含1个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
样例输入
输入样例#1:
5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
输入样例#2:
7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6
样例输出
输出样例#1:
6
输出样例#2:
16
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成,为
6 5 6
7 5 6
,其分值为
|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| +
|5−5| + |6−6| =6。
【输入输出样例2说明】
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成,选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8 9 8 8 5 8 10
提示
对于50%的数据,1 ≤ n ≤
12,1
≤ m ≤ 12,矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20;
对于100%的数据,1 ≤ n ≤
16,1
≤ m ≤ 16,矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000,
1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m。
二、分析及代码
子矩阵:
方法一:暴力搜索
最大时间复杂度为O(C(16,8)*C(16,8));
只有一半分
方法二:直接想DP,不好想
方法三:暴力搜索+DP
最大时间复杂度为O(C(16,8)*n3);
我们先用暴力选好行,再用dp对列进行操作。
状态:
dp[i][j]表示前i列里选j列的子矩阵最大分值
最终状态:
状态为什么不是dp[m][c]
min(dp[i][c]) 因为下面那么写状态转移方程默认最后选的那一列就是第i列
初始状态:
dp[i][0]=0,dp[0][i]=0,dp[i][i]=行的分值+列的分值
状态转移方程:
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+val[i]+cost[k][i]); (j-1<=k<i)
dp[i][j]表示前i列里选j列的子矩阵最大分值
a[i]表示 第i列选到的行的总差值
b[k][i]表示选到的每一行第k列和第i列之间的差值
k表示除i之外最后一列的编号
dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[k][j-1]+val[i]+cost[k][i]);
j-1<=k<i
DP过程:
i…1->n
j…1->i
k…j-1->i-1
dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[k][2]+val[i]+cost[k][i]);
2<=k<=4
k==2: dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[2][2]+val[i]+cost[k][i]);
k==3: dp[3][2] +val[i]+cost[k][i]
k==4: dp[4][2] +val[i]+cost[k][i]
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 20 using namespace std; int a[MAXN][MAXN],n,m,r,c,ans; int R[MAXN],cost[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],val[MAXN]; inline void read(int &x) {
int f=;x=;char c=getchar();
while(c>''||c<'') {if(c=='-') f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<='') {x=(x<<)+(x<<)+c-;c=getchar();}
x=x*f;
} void printArr_dp(){
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=;j<=m;j++){
printf("%4d ",dp[i][j]);
}
cout<<endl;;
}
} inline int DP() {
int ret=1e9;
for(int i=;i<=m;i++) { //在第i列之间的数的差值之和
val[i]=;
for(int j=;j<r;j++)
val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+]][i]);
} for(int i=;i<=m;i++) //处理在第i列与第j列之间 数的差值之和
for(int j=i+;j<=m;j++) {
cost[i][j]=;
for(int k=;k<=r;k++)
cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
} for(int i=;i<=m;i++) //前i列之中 第i列强制选择
for(int j=;j<=i&&j<=c;j++) { //已经选了j列
dp[i][j]=1e9;
for(int k=j-;k<i;k++) // 从j-1列开始 在第j-1列到第i列之中选第j列 再加上第i列的花费
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-]+cost[k][i]+val[i]); //在前k列中选取了j-1列 再选取第j列
} for(int i=c;i<=m;i++) //在前i列中选了c列
ret=min(ret,dp[i][c]); // printArr_dp();
// cout<<endl;
return ret; }
//now为当前遍历的行的编号,cnt为找到的行的数目,找到的行的编号放在 R[]数组中
inline void slect(int now,int cnt) {// 任意选取r行
if(now>n) {//n行都搜索完了
if(cnt==r) ans=min(ans,DP());//这r行找好了,我们就DP
return;
}
slect(now+,cnt);//不选这一行
R[cnt+]=now;//记录选的这行
slect(now+,cnt+);//选这一行
return;
} int main() {
freopen("submatrix.txt","r",stdin);
read(n);read(m);read(r);read(c);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
read(a[i][j]);
ans=1e9;
slect(,);
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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