GIS中的坐标系

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从第一次上地图学的课开始，对GIS最基本的地图坐标系统就很迷。也难怪，我那时候并不是GIS专业的学生，仅仅是一门开卷考试的专业选修课，就没怎么在意。

等我真正接触到了各种空间数据产品，我才知道万里长征第一步就是：处理坐标系统。

想必多多少少都会听说过几个名词，也许悠远，也许模糊。高斯克吕格，北京54，西安80，WGS84，投影坐标系统，etc.

今天就从头说起，讲讲那些坐标系统的事情。

惯例，给个目录：

1. 经纬度与GCS（Geographic Coordinate System, 地理坐标系统）

2. 方里网与PCS（Projection Coordinate System, 投影坐标系统）

3. GCS和PCS的转化问题（三参数与七参数问题）

4. 火星坐标问题

1. 在第一部分，我介绍一下以经纬度为准的地理坐标系统，也顺带提及一下我国的高程坐标系。主要涉及的内容有：大地水准面问题，椭球问题，常见的GCS（如北京54，西安80，CGCS2000，WGS84等），让大家看到GIS数据中的GCS马上就能知道这是什么东西。
2. 在第二部分，我介绍一下以平面直角坐标系为量度的投影坐标系统。主要涉及的内容有：PCS与GCS的关系，我国常见的PCS（高斯克吕格、兰伯特/Lambert、阿尔伯斯Albers、墨卡托Mercator、通用横轴墨卡托UTM、网络墨卡托Web Mercator）。
3. 在第三部分，是实际操作过程中遇到的种种问题，如投影不对会出现什么情况、如何转换GCS、如何切换PCS（重投影问题）等问题，涉及一些数学转换的思维，需要有一定的空间想象能力。
4. 在第四部分，我简单介绍一下所谓的火星坐标。

那么我们开始吧！

1. 经纬度与GCS

天气预报也好，火箭发射也罢，地震、火山等事故发生时，电视台总会说东经XX度，北纬YY度。这个经纬度中学地理就学过了，我就不细说了。

我从如何描述地球说起。

1.1 凹凸不平的地球

谁都知道地球表面不平坦，它甚至大概形状都不是一个正球体，是一个南北两极稍扁赤道略胖的胖子，胖度大概是20km，在外太空几乎看不出来的，这也可能和星球长期受到潮汐引力、太阳引力以及自身旋转的向心力有关。这里不是地球科学，就不再深究了。

为了能让地球出现在数学家的公式里，我们曾经走过了2个阶段：用平静的海面描述地球——用虚拟的旋转椭球面描述地球表面。

这里也不是地图学，再深入下去其实还有似大地水准面等概念。就挑重点讲。

“假设地球表面都是水，当海平面风平浪静没有波澜起伏时，这个面就是大地水准面。”大家应该知道，在太空失重的环境下，水相对静止状态是个正球体，那么肯定很多人就认为，大地水准面就是个正球面。不是的，还需要考虑一个问题：地球各处的引力不同。引力不同，就会那儿高一些，这儿低一些，尽管这些微小的差距肉眼难以观测出来，可能隔了好几千米才会相差几厘米。所以，在局部可能看起来是个球面，但是整体却不是。显然，用大地水准面来进行数学计算，显然是不合适的，至少在数学家眼中，认为这不可靠。

所以找到一个旋转椭球面就成了地理学家和数学家的问题。（注意区分椭球面和旋转椭球面这两个数学概念，在GCS中都是旋转椭球面）

给出旋转椭球面的标准方程：

(x²+y²)/a²+z²/b²=1

其中x和y的参数相同，均为a，这就代表一个绕z轴旋转的椭圆形成的椭球体。不妨设z轴是地球自转轴，那么这个方程就如下图是一个椭球体，其中赤道是个圆。

这样，有了标准的数学表达式，把数据代入公式计算也就不是什么难事了。

由此我们可以下定义，【注】十九世纪发现赤道也是一个椭圆，故地球实际应以普通椭球面表示，但是由于各种原因以及可以忽略的精度内，一直沿用旋转椭球体作为GCS。

1.2 参心坐标系、地心坐标系

上过中学物理的人知道，物体均有其质心，处处密度相等的物体的质心在其几何中心。所以，地球只有一个质心，只是测不测的精确的问题而已。由地球的唯一性和客观存在，以地球质心为旋转椭球面的中心的坐标系，叫地心坐标系，且唯一。当然，由于a、b两个值的不同，就有多种表达方式，例如，CGCS2000系，WGS84系等，这些后面再谈。

【注】地心坐标系又名协议地球坐标系，与GPS中的瞬时地球坐标系要对应起来。

但是又有一个问题——政治问题，地图是给一个国家服务的，那么这地图就要尽可能描述准确这个国家的地形地貌，尽量减小误差，至于别国就无所谓。

所以，就可以人为的把地球的质心“移走”，将局部的表面“贴到”该国的国土，使之高程误差尽量减小到最小。

这个时候，就出现了所谓的“参心坐标系”。即椭球中心不在地球质心的坐标系。如下图：

绿色的球就是为了贴合赤道某个地方而产生了平移的参心系（这里只是个例子，而且画的有点夸张）。

我国常用的参心系及对应椭球：

• 北京54坐标系：克拉索夫斯基椭球体
• 西安80坐标系：IAG75椭球体

我国常用的地心系及对应椭球：

• WGS84坐标系：WGS84椭球体（GPS星历的坐标系，全球统一使用，最新版于2002年修正）
• CGCS2000坐标系：CGCS2000椭球体（事实上，CGCS2000椭球和WGS84椭球极为相似，偏差仅有0.11mm，完全可以兼容使用）

为什么CGCS2000和WGS84要略微有些偏差？这是因为WGS84系是GPS的坐标系，而我国北斗定位则是需要自己的坐标系，就搞了一波CGCS2000。

这几个坐标系的介绍放在下一节，而这些椭球体的转换将在第三部分介绍（主要就是数学中，空间直角坐标系旋转的问题）。

1.3 我国常见GCS

借助以下4个常见坐标系及椭球体，就可以推及到世界各地不同的GCS及椭球体，完成数据的转化问题。

1.3.1 北京54坐标系（参心）

新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。

• 椭球体：Krasovsky椭球
• 极半径b=6 356 863.0187730473 m
• 赤道半径a=6 378 245m
• 扁率=1/298.3
• 高程系：56黄海系

1.3.2 西安80坐标系（参心）

改革开放啦，国家商量要搞一个更符合国用的坐标系——西安80坐标系，该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里。

• 椭球体：IAG椭球（全名是啥还得去翻翻课本。。。）
• 极半径b=6 356 755m
• 赤道半径a=6 378 140m
• 扁率=1/298.25722101
• 高程系：85黄海系

1.3.3 WGS84坐标系（地心）

全称World Geodetic System - 1984，是为了解决GPS定位而产生的全球统一的一个坐标系。

• 椭球体：WGS84椭球
• 极半径b=6 356 752.314 245 179 5m
• 赤道半径a=6 378 137 m
• 扁率=1/298.257223563
• 高程系：？根据国家需求定？

1.3.4 CGCS2000坐标系（地心）

2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其全称为China Geodetic Coordinate System 2000，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。

• 椭球体：CGCS2000坐标系
• 极半径b=6 356 752.314 140 355 8m
• 赤道半径a=6 378 137m
• 扁率=1/298.257222101
• 高程系：85黄海系

【注】CGCS2000的定义与WGS84实质一样。采用的参考椭球非常接近。扁率差异引起椭球面上的纬度和高度变化最大达0.1mm。当前测量精度范围内，可以忽略这点差异。可以说两者相容至cm级水平

最后一张表总结一下：

有趣的是，在ArcGIS的GCS文件夹下，找到了一个“新北京54坐标系”，这是为了使54和80之间方便转化而产生的一个过渡坐标系。

2. 方里网与PCS

说完了以经纬度为计量单位的GCS，那么我再来说说以平面（空间）直角坐标系为度量衡的投影坐标系（PCS，Projection Coordinate System）。

说一个具体的问题以解释为什么要用PCS。

如何用经纬度表达一块地的面积？

这没办法吧？经纬度本身不带单位，度分秒仅仅是一个进制。

而且同样是1度经度，在不同的纬度时代表的弧段长是不一样的。

这就给一些地理问题带来了困惑：如何建立一个新的坐标系使得地图分析、空间分析得以定量计算？

PCS——投影坐标系就诞生了。

我要着重介绍一下我国的6种常用投影方式：

• 高斯克吕格（Gauss Kruger）投影=横轴墨卡托（Transverse Mercator）投影
• 墨卡托（Mercator）投影
• 通用横轴墨卡托（UTM）投影
• Lambert投影
• Albers投影
• Web Mercator（网络墨卡托）投影

很多课本、博客都写的很详细了，我想从3D的图形来描述一下他们是怎么个投影的。

2.1 从投影说起

如上图。光线打到物体上，使得物体产生的阴影形状，就叫它的投影。这个不难理解。

这里我想问一个问题：既然投影物体，是不变的，那么我把投影的平面改为曲面呢？

这就产生了不同的投影，比如投射到一个圆锥面上，一个圆柱面上，一个平面上...等等。

不同的投影方式有不同的用途，也有了不同的投影名称。

但是，PCS是基于存在的GCS的，这个直接规定。没有GCS，就无从谈PCS，PCS是GCS上的地物投射到具体投影面的一种结果。

即：

PCS=GCS+投影方式

2.2 我国常见投影

2.2.1 高斯克吕格投影/横轴墨卡托投影

英文名Gauss Kruger。在一些奇奇怪怪的原因中，又名横轴墨卡托投影，英文名等角/横/切椭圆柱/投影。

即

• 投影后的地图，角度不变，面积有变。离中央经线越远的地区，面积变化越大。此投影合适用于导航。
• 投影椭圆柱面是横着的；
• 投影椭圆柱面与椭球体相切。

适用比例尺：1：2.5万~1：100万等使用6度分带法；1：5000~1：10000使用3度分带法。

【注】在ArcGIS中，不同的GCS的PCS是不同的，以CGCS2000、西安80和北京54为例：

CGCS2000_3_Degree_GK_CM_111E：CGCS2000的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系

CGCS2000_3_Degree_GK_Zone_30：CGCS2000的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第30个投影带的投影坐标系

Beijing_1954_3_Degree_GK_CM_111E：北京54的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系

Beijing_1954_3_Degree_GK_Zone_35：北京54的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第35个投影带的投影坐标系

Xian_1980_3_Degree_GK_CM_111E：西安80的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系

Xian_1980_3_Degree_GK_Zone_34：西安80的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第34个投影带的投影坐标系

不难发现，都是以GCS起头的命名法。

2.2.2 墨卡托投影

英文名Mercator投影。

数学上，投影面是一个椭圆柱面，并且与地轴（地球自转轴）方向一致，故名：“高斯克吕格的圆柱面竖起来。

2.2.3 通用横轴墨卡托投影（UTM投影）

英文全称Universal Transverse Mercator。是一种“UTM投影=0.9996高斯投影

其余性质都和高斯克吕格投影一样。

割于纬度80°S和84°N。中央经线投影后，是原长度的0.9996倍。

不过，起算投影带是180°经线，174°W则是第二个投影带的起算经线。

由于有以上优点，UTM投影被许多国家和地区采用，作为大地测量和地形测量的投影基础。

【注】UTM投影是我国各种遥感影像的常用投影。

【注2】UTM投影在ArcGIS中的定义

例如：

WGS_1984_UTM_Zone_50N，就代表WGS1984的GCS下，进行UTM投影，投影带是50N.

WGS_1984_Complex_UTM_Zone_25N，就代表WGS1984的GCS下，进行3度分带UTM投影，投影带是25N.

2.2.4 Lambert投影

中文名兰伯特投影、兰博特投影。

我国地形图常用投影，比如1：400万基础数据：

（GCS是北京54）可以看到授权是自定义，说明这个投影是自定义的，没有被官方收录。等到第三部分再说怎么自定义投影。

我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，1:100万地形图、大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图多采用Lambert投影。

兰伯特投影是一种“等角圆锥投影”。

ArcGIS中的投影系一般带有Lambert_Conformal_Conic等字样，国际上用此投影编制1∶100万地形图和航空图。

它就像是一个漏斗罩在乒乓球上：

更标准的画法，见下图，有切和割两种。

它没有角度变形。

这个漏斗的倾斜程度，就有三种：正轴、横轴、斜轴。就是圆锥的方向和地轴的方向的问题。

2.2.5 Albers投影

中文名阿伯斯投影。又名“平移向量=（dx,dy,dz）和旋转角度（A,B,C），加上缩放比例s，完成一个不同的坐标系转换，就需要7参数。

我们知道，地心坐标系是唯一的，即原点唯一，就说明平移向量是0向量，如果缩放比例是1，那么旋转角度（A,B,C）就是唯一的仿射参数，即3参数。

上图左图为坐标系平移，右图为坐标系旋转。缩放可以在任意阶段进行。

——————以上为理论预备——————

说了这么多理论，如何进行GCS转换呢？假设一个数据源已经有了GCS，我们需要做的操作只有一个：

打开如下工具：数据管理工具/投影和变换/投影，设置界面如下（以WGS1984转西安80为例）：

别选错了，这里输入输出都是GCS。然后出现以下警告：

这就告诉你，需要参数转换。在这里，WGS84转西安80，是属于7参数转换（地心转参心），但是缺少7参数，就需要自己去测绘局买或者自己粗略算。

那么如何定义一个地理坐标变换呢？

使用投影的旁边的工具：

即可。见下图：

使用Position_Vector方法（即7参数法）即可输入7参数。我就不输入了，各位有数据的可以继续做。

关于3参数和7参数，在ArcGIS帮助文档里都写有的，目录如下：

3.2 GCS进行投影

这个就更简单了。

随便挑个GCS，喜欢什么用什么，如西安80投影到UTM投影，都可以的。

仍然是上节提及的“投影工具”：

这样就可以了，这里是以WGS84的GCS投影到UTM的第50分度带上。

如果是进行栅格数据的投影，就用“栅格”文件夹下的“投影栅格”工具。

如果所需投影系没有自己需要的GCS，就自定义一个：

这个窗口在Catalog浮动窗或者Catalog软件里打开某个数据的属性，找到XY坐标系的选项卡，就可以新建。

【注】如果在数据的属性页的XY坐标系选项卡，或者图层数据框的XY坐标系选项卡中修改GCS，这仅仅是改个名，坐标值还是原来的坐标系上的，这代表老坐标值并没有转换到新坐标系上。形象的说，就是换汤不换药，这是不对的。我这里说的用投影的方法，才是真正的坐标仿射变换到新的坐标系，使之更改数值，形成在新的坐标系下的新坐标值。

3.3 PCS转PCS（重投影）

最常见的就是下载了谷歌影像图，是Web墨卡托的投影，但是实际又需要高斯投影，那么基于WGS84这个GCS，就可以进行重投影。

在这里，我就以UTM投影转Web墨卡托投影为例：

这次是用“栅格”文件夹下的“投影栅格”工具：

一般选好红框的三个参数即可。

如果仍然提示需要地理坐标变换的警告，说明不是一个GCS的数据，需要3参数或者7参数转换。

栅格数据类似，使用“投影工具”。

工具定位。

3.4 定义投影

这不是定义一个投影坐标系，而是给有坐标值的矢量或者栅格数据添加一个投影坐标系而已。

使用“定义投影”工具即可，既可以定义GCS，也可以定义PCS（这软件的中文翻译有点毛病）。

3.5 地理配准与空间校正

这个就不多说了，地理配准就是使屏幕坐标系的扫描地图仿射、二次三次变换到真正投影坐标系的过程，自动加上目标数据的PCS。有了PCS后就会自动加上GCS。

地理配准主要是针对栅格数据。

空间校正则是针对矢量数据进行仿射、二次、三次变换。

3.6 可能出现的错误

3.6.1 显示几十万位数字的“经纬度”

这是有了PCS后，在Catalog的数据属性页的XY坐标系选项卡里选中GCS然后应用的结果。

原本是方里网的数字，变成了GCS才有的度分秒。

解决方法：Catalog属性页将GCS改回原来的PCS即可。

3.6.2 显示三位数、两位数的“米”

这是有了GCS后，在Catalog的数据属性页的XY坐标系选项卡里选中PCS然后应用的结果。

原本是经纬度的数字，变成了PCS才有的长度单位。

解决方法：做一次逆向投影，如果还记得正向的投影的两个坐标系...

以上三种错误比较常见，但是手头没有案例，以后遇到再发上来吧。

4. 火星坐标

火星坐标这个东西很常见，出现在互联网地图上。例如百度、腾讯、谷歌等地图。

出于保密等政治因素，地图的GCS坐标值，会被一种特殊的数学函数加密一次，会偏离真实坐标数百米的距离，但是反馈到用户端的却是正确的位置信息（也就是说你拿到GCS坐标也没用，拿GPS到实地跑跟拿着地图定位，可能会偏出几十米甚至一百米的距离）。

参考资料：

你所不知的有趣投影方法

ArcGIS将WGS84坐标转北京54或西安80

&ArcGIS 帮助文档