P4559 [JSOI2018]列队

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

作为一名大学生，九条可怜在去年参加了她人生中的最后一次军训。

军训中的一个重要项目是练习列队，为了训练学生，教官给每一个学生分配了一个休息位置。每次训练开始前，所有学生都在各自的休息位置休息，但是当教官发出集合命令后，被点到的学生必须要到指定位置集合。

为了简化问题，我们把休息位置和集合位置抽象成一根数轴。一共有 $n$ 个学生，第 $i$ 个学生的休息位置是 $a_i$。每一次命令，教官会指定一个区间 $[l,r]$ 和集合点 $K$ ，所有编号在 $[l,r]$ 内的学生都必须赶到集合点列队。在列队时，每一个学生需要选择 $[K,K+r-l]$ 中的一个整数坐标站定且不能有任何两个学生选择的坐标相同。学生从坐标 $x$ 跑到坐标 $y$ 需要耗费体力 $\vert y-x \vert$ 。

在一天的训练中，教官一共发布了 $m$ 条命令 $(l,r,K)$ ，现在你需要计算对于每一条命令，在所有可能的列队方案中，消耗的体力值总和最小是多少。

以下是对题意的一些补充：

任何两条命令是无关的，即在一条集合命令结束后，所有学生都会回到自己的休息位置，然后教官才会发出下一条命令。
在集合的时候，可能有编号不在 $[l,r]$ 内的学生处在区间 $[K,K+r-l]$ 中，这时他会自己跑开，且跑动的距离不记在消耗的体力值总和中。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行输入两个整数 $n,m$。

第二行 $n$ 个整数 $a_i$ 表示学生的休息位置。保证学生休息的位置两两不同。

接下来 $m$ 行每行三个整数 $l,r,K$ 表示一条命令。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

对于每一条命令输出一行一个整数表示最小的体力值总和。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

$\color{#0066ff}{输出样例}$

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

在第一条命令中，五名学生依次跑到 $[2,5,4,6,3]$，则总代价为 |2-1|+|5-5|+|4-7|+|6-6|+|3-2|=5∣2−1∣+∣5−5∣+∣4−7∣+∣6−6∣+∣3−2∣=5。

在第二条命令中，五名学生依次跑到 $[4,5,7,6,3]$，则总代价为 |4-1|+|5-5|+|7-7|+|6-6|+|3-2|=4∣4−1∣+∣5−5∣+∣7−7∣+∣6−6∣+∣3−2∣=4。

在第三条命令中，三名学生依次跑到 $[11,10,9]$，则总代价为 |11-1|+|10-5|+|9-7|=17∣11−1∣+∣10−5∣+∣9−7∣=17。

在第四条命令中，三名学生依次跑到 $[4,2,3]$，则总代价为 |4-5|+|2-7|+|3-6|=9∣4−5∣+∣2−7∣+∣3−6∣=9。

在第五条命令中，三名学生依次跑到 $[7,6,5]$，则总代价为 |7-7|+|6-6|+|5-2|=3∣7−7∣+∣6−6∣+∣5−2∣=3。

对于10%的数据$n,m \leq 10$。

对于 $40\%$ 的数据，$n,m \leq 10^3$。

对于 $70\%$ 的数据，$n,m \leq 10^5$。

对于 $100\%$ 的数据，$n,m \leq 5 \times 10^5,1 \leq a_i,K \leq 10^6$。

对于 $100\%$ 的数据，学生休息的位置两两不同。

$\color{#0066ff}{ 题解 }$

不难想到用主席树维护

设当前人的范围为$[l,r]$，它们要到$[ql,qr]$去

我们维护区间人的个数，这左子树有num个人，则可以递归$[l,mid][ql,ql+num-1]和[mid +1,r][ql+num,qr]$

这复杂度。。。。$O(n^2)$啊。。。

进而考虑剪掉一些东西，比如$r\leq ql, l\ge qr$

拿$r\le ql$举个例子，让所有人到ql集合，然后一个一个往后走，就是个等差数列很好求

这样对于强数据还是会被卡

进而想一想，$r\le qr$能不能优化呢？答案是肯定的

让所有人跑到qr，然后往回退体力，这种情况下每个人只会跑多不会跑少，所以可以直接减

分析一下这样做的复杂度

当$mid \le ql +num-1$时，左子树$O(1)$return，右子树$O(logn)$递归，反之同理

因此$O(nlogn)$可过！

// luogu-judger-enable-o2

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

const int maxn = 2e6 + 100;

struct Tree {

protected:

	struct node {

		int num;

		LL tot;

		node *ch[2];

		node() { num = tot = 0; ch[0] = ch[1] = NULL; }

	};

	node *root[maxn];

	int len;

	void add(node *&o, node *lst, int l, int r, LL p) {

		o = new node();

		*o = *lst;

		o->num++, o->tot += p;

		if(l == r) return;

		int mid = (l + r) >> 1;

		if(p <= mid) add(o->ch[0], lst->ch[0], l, mid, p);

		else add(o->ch[1], lst->ch[1], mid + 1, r, p);

	}

	LL getsum(LL l, LL r) {

		return (r - l + 1) * (r - l) >> 1;

	}

	LL getans(node *x, node *y, LL l, LL r, LL ql, LL qr) {

		if(ql > qr) return 0;

		if(r <= qr) return qr * (qr - ql + 1) - (y->tot - x->tot) - getsum(ql, qr);

		if(l >= ql) return (y->tot - x->tot) - ql * (qr - ql + 1) - getsum(ql, qr);

		int num = y->ch[0]->num - x->ch[0]->num;

		int mid = (l + r) >> 1;

		return getans(x->ch[0], y->ch[0], l, mid, ql, ql + num - 1) + getans(x->ch[1], y->ch[1], mid + 1, r, ql + num, qr);

	}

public:

	void init(int n, LL *a) {

		len = 1e6 + 10;

		root[0] = new node();

		root[0]->ch[0] = root[0]->ch[1] = root[0];

		for(int i = 1; i <= n; i++) add(root[i], root[i - 1], 1, len, a[i]);

	}

	LL getans(int l, int r, int k) { return getans(root[l - 1], root[r], 1, len, k, k + r - l); }

}s;

LL a[maxn], n, m;

int main() {

	n = in(), m = in();

	for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = in();

	s.init(n, a);

	LL l, r, k;

	while(m --> 0) {

		l = in(), r = in(), k = in();

		printf("%lld\n", s.getans(l, r, k));

	}

	return 0;

}