LCT(1)

LCT（Link-Cut Tree，动态树）是一个支持动态修改树的结构的数据结构，其基本操作有 \(\texttt{access}\) , \(\texttt{findroot}\) , \(\texttt{makeroot}\), 其核心操作有 \(\texttt{link}\) 和 \(\texttt{cut}\) .

本文具体讲述 LCT 的操作内容和实际运用，不深入讨论如何得到每个具体操作。

1. LCT 简介

这里用到树链剖分的思想。LCT 的本质是动态维护链剖分。我们将树链剖分，分为实链和虚链，每一条实链用辅助树即平衡树（选择splay）来维护链上信息，每一条虚链连接各个辅助树，每棵辅助树按照深度为关键字维护。每次我们动态进行实链剖分来完成对树上信息和结构的操作。

2. LCT 的实现

接下来介绍 LCT 的各种操作：

2.1. ACCESS

\(\texttt{access(x)}\) 是 LCT 最基本的操作，功能为将根到 \(x\) 的一条链变为实链。这样的用途当然是将这段路径放入一棵辅助树，方便进行操作。

这里不再手玩，直接给出操作过程 （设 \(y\) 为 \(x\) 新实链上的儿子）：

1. 将 \(x\) 旋转到当前辅助树的根
2. 将 \(x\) 辅助树中的右儿子改为 \(y\) 。
3. \(y \leftarrow x, x\leftarrow fa[x]\) ，向上递归操作。

具体可以这样理解：将 \(x\) splay 后，他的右儿子比 \(x\) 的深度大，即为一条实链，那我们就断掉这条实链，把 \(y\) 接上去，具体实现即为直接修改右儿子。

for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]) splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);

2.2. MAKEROOT

\(\texttt{makeroot(x)}\) 即将 \(x\) 提到原树的根。具体操作：我们 \(\texttt{access(x),splay(x)}\) 后，\(x\) 变为当前辅助树的根，且由于其深度最大，所以没有右子树。然后我们把左右子树翻转，这样就没有比 \(x\) 深度更小的点了， \(x\) 就变成根啦。

access(x),splay(x),rev[x]^=1;

2.3. FINDROOT

\(\texttt{findroot(x)}\) 即为找 \(x\) 所在原树的树根（注意：LCT维护的不一定是一棵树，可能是森林！）。

具体操作： \(\texttt{access(x),splay(x)}\) 后，一路走到最左边即可。很好理解。当然要记得 \(\texttt{pushdown}\) .

特别注意：最后要 splay(x) 保证复杂度！！！

access(x),splay(x); int y=x;
while(ch[y][0]) pushdown(y),y=ch[y][0];
splay(x); return y;

（PS：这可能是LCT基本操作里最长的函数了……）

（PS: 在只有 link 操作的题目可能用并查集更简单）

2.4. LINK

\(\texttt{link(x,y)}\) 即为连接两个节点。直接 \(\texttt{makeroot(x)}\) 后将 \(x\) 的父亲变为 \(y\) 即可。

在 \(\texttt{link}\) 操作不保证合法的情况下，还需要判断 \(y\) 的根是否为 \(x\) 。（代码未涉及）

makeroot(x),fa[x]=y;

2.5. SPLIT

不算是基本操作，但也很常用且简单。 \(\texttt{split(x,y)}\) 即为将 \(x\rightarrow y\) 的一条路径拉出来。我们将 \(x\) 置为根后 \(\texttt{access(y)}\) 即可。再加上 \(\texttt{splay(y)}\) 即可直接操作 \(y\) ，\(x\) 即为 \(y\) 的左儿子。

makeroot(x),access(y),splay(y);

2.6. CUT

\(\texttt{cut(x,y)}\) 即为断掉 \(x\rightarrow y\) 的这条边。 \(\texttt{split(x,y)}\) 之后直接将 \(fa[x]\) 和 \(ch[y][0]\) 置为 \(0\) 即可。

split(x,y),fa[x]=ch[y][0]=0;

在 \(\texttt{cut}\) 操作不保证合法的情况下，在 \(\texttt{makeroot}\) 后需判断：

if(findroot(y)==x&&f[y]==x&&!c[y][0]) do...

3. 辅助树

辅助树之前说过了，用splay来实现。接下来具体讲一讲 LCT 中的 splay 中的变化。

这里先直接贴代码：

#define isnrt(x) (ch[fa[x]][0]==x||ch[fa[x]][1]==x)
void pushdown(int x)
{
	if(rev[x])
	{
		rev[ch[x][0]]^=1,rev[ch[x][1]]^=1;
		swap(ch[x][0],ch[x][1]);
		rev[x]=0;
	}
}
void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y];
	bool k=ch[y][0]==x; int w=ch[x][k];
	if(isnrt(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;ch[x][k]=y;ch[y][!k]=w;
	fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
}
void splay(int x)
{
	int y=x,tp=1; st[1]=y;
	while(isnrt(y)) st[++tp]=y=fa[y];
	while(tp) pushdown(st[tp--]);
	while(isnrt(x))
	{
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(isnrt(y)) (ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)?rotate(x):rotate(y);
		rotate(x);
	}
}

变化很容易看出：当前辅助树的根需要特判（代码中用 \(\texttt{isnrt(x)}\) 来实现）。具体的不再解释了。同时注意 \(\texttt{pushdown}\) .

4. 模板

模板题：给你一棵树，每个节点上一个权值，支持加边删边，修改单点权值，查询路径 \(\texttt{xor}\) 和 .

代码：略。

关于 LCT 的具体用途和题目，在(2)中详细讲解。