DP模板

怕不是最后一篇（雾），过滤最基础的背包DP、状压DP、递推等

树上换根DP：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4284

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double ld;
const int N=5e5+;
int n,cnt,hd[N],v[N<<],nxt[N<<];
ld ans,p[N],f[N],g[N],w[N<<];
void add(int x,int y,ld z){v[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],w[cnt]=z,hd[x]=cnt;}
void dfs1(int u,int fa)
{
    f[u]=p[u];
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i])
    if(v[i]!=fa)dfs1(v[i],u),f[u]=(f[u]+w[i]*f[v[i]]*(-f[u]));
}
void dfs2(int u,int fa,ld p)
{
    g[u]=f[u]+(fabs(-p*f[u])>1e-?p*(g[fa]-p*f[u])/(-p*f[u])*(-f[u]):);
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i])if(v[i]!=fa)dfs2(v[i],u,w[i]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=,x,y,z;i<n;i++)scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z*0.01),add(y,x,z*0.01);
    for(int i=,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),p[i]=x*0.01;
    dfs1(,),dfs2(,,);
    for(int i=;i<=n;i++)ans+=g[i];
    printf("%0.6Lf",ans);
}

数位DP：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1245

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,p,a[],f[][][];
int tot,pos;
int main()
{
    int T;cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>p;
        tot=;
        while(n)a[tot++]=n%p,n/=p;
        tot--;
        memset(f[pos],,sizeof f[pos]);
        f[pos][][]=a[]+,f[pos][][]=p-f[pos][][];
        for(int i=;i<=tot;i++)
        {
            pos^=;
            memset(f[pos],,sizeof f[pos]);
            for(int j=;j<=tot;j++)
            {
                f[pos][j][]+=(a[i]+)*f[pos^][j][]+a[i]*f[pos^][j][];
                f[pos][j+][]+=(p-a[i]-)*f[pos^][j][]+(p-a[i])*f[pos^][j][];
            }
        }
        while(!f[pos][tot][])tot--;
        for(int i=;i<=tot;i++)printf("%lld ",f[pos][i][]);
        puts("");
    }
}

斜率优化DP：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3628

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+;
int n,a,b,c,q[maxn],qs,qe;
ll s[maxn],f[maxn];
double val(int j,int k)
{return (f[j]-f[k]+a*(s[j]*s[j]-s[k]*s[k])+b*(s[k]-s[j]))*1.0/(*a*(s[j]-s[k]));}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        s[i]=s[i-]+x;
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        while(qs<qe&&val(q[qs+],q[qs])<s[i])
        qs++;
        f[i]=f[q[qs]]+a*(s[i]-s[q[qs]])*(s[i]-s[q[qs]])+b*(s[i]-s[q[qs]])+c;
        while(qs<qe&&val(i,q[qe])<val(q[qe],q[qe-]))
        qe--;
        q[++qe]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

决策单调性DP（最值分治）：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2216

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+;
int n,a[N],ans[][N];
double calc(int u,int v){return sqrt(abs(v-u))+a[u];}
void solve(int l,int r,int ql,int qr,int ans[N])
{
    if(l>r||ql>qr)return;
    int minp=l,mid=ql+qr>>;
    double mn=calc(l,mid),ret=;
    for(int i=l+;i<=r&&i<=mid;i++)
    {
        ret=calc(i,mid);
        if(mn<=ret)mn=ret,minp=i;
    }
    ans[mid]=max(ans[mid],int(ceil(mn))-a[mid]);
    solve(l,minp,ql,mid-,ans),solve(minp,r,mid+,qr,ans);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    solve(,n,,n,ans[]);
    for(int i=;i<=n/;i++)swap(a[i],a[n-i+]);
    solve(,n,,n,ans[]);
    for(int i=;i<=n;i++)printf("%d\n",max(ans[][i],ans[][n-i+]));
}

四边形优化DP：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=;
int n,val[N],sum[N],f[N][N],s[N][N];
void solve()
{
    for(int i=;i<=*n;i++)f[i][i]=,s[i][i]=i;
    for(int len=;len<=n;len++)
    for(int i=*n-len;i;i--)
    {
        int j=i+len-;
        f[i][i+len-]=1e9;
        int a=s[i][i+len-],b=s[i+][i+len-],cost=sum[i+len-]-sum[i-];
        for(int k=a;k<=b;k++)
        if(f[i][i+len-]>f[i][k]+f[k+][i+len-]+cost)
        {
            f[i][i+len-]=f[i][k]+f[k+][i+len-]+cost;
            s[i][i+len-]=k;
        }
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&val[i]),val[i+n]=val[i];
        for(int i=;i<=*n;i++)sum[i]=sum[i-]+val[i];
        solve();
        int ans=1e9;
        for(int i=;i<=n;i++)ans=min(ans,f[i][i+n-]);
        printf("%d\n",ans);
    }
}

Min-Max容斥：https://loj.ac/problem/2542

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=,N=3e5;
int n,Q,s,cnt,f[N],sz[N],k[],d[],du[],hd[],v[],nxt[];
int qpow(int a,int b)
{
    int ret=;
    while(b)
    {
        if(b&)ret=1ll*ret*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;b/=;
    }
    return ret;
}
void add(int x,int y){v[++cnt]=y;nxt[cnt]=hd[x];hd[x]=cnt;}
void dfs(int u,int fa,int S)
{
    if(S&(<<u-)){k[u]=d[u]=;return;}
    k[u]=d[u]=du[u];
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i])
    if(v[i]!=fa)
    {
        dfs(v[i],u,S);
        k[u]=(k[u]-k[v[i]])%mod;
        d[u]=(d[u]+d[v[i]])%mod;
    }
    k[u]=qpow(k[u],mod-);
    d[u]=1ll*d[u]*k[u]%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&Q,&s);
    for(int i=,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x),du[x]++,du[y]++;
    for(int i=;i<(<<n);i++)
    dfs(s,,i),f[i]=d[s],sz[i]=sz[i>>]+(i&);
    while(Q--)
    {
        int k,S=;
        scanf("%d",&k);
        for(int i=,x;i<=k;i++)scanf("%d",&x),S|=<<x-;
        int ans=;
        for(int i=S;i;i=(i-)&S)
        ans=(sz[i]&)?(ans+f[i])%mod:(ans-f[i])%mod;
        printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    }
}

动态DP：https://www.luogu.org/problemnew/show/P5024

#include<bits/stdc++.h>
#define lson l,mid,rt*2
#define rson mid+1,r,rt*2+1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+;
struct mat{
    ll f[][];
    mat(){f[][]=f[][]=f[][]=f[][]=;}
    friend mat operator+(mat a,mat b)
    {
        mat c;
        for(int i=;i<;i++)
        for(int j=;j<;j++)
        c.f[i][j]=min(a.f[i][]+min(b.f[][j],b.f[][j]),a.f[i][]+b.f[][j]);
        return c;
    }
}st[N],to;
int n,m,cnt,dep[N],tid[N],bel[N],fa[N],sz[N],son[N],dfn[N],pos[N];
ll p[N],f[N],g[N],cf[N],cg[N];
bool used[N];
vector<int>G[N];
void build(int l,int r,int rt)
{
    used[rt]=bel[tid[l]]==bel[tid[r]];
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)/;
    build(lson);
    build(rson);
}
void modify(int l,int r,int rt,int p)
{
    if(l==r){st[rt]=to;return;}
    int mid=(l+r)/;
    if(p<=mid)modify(lson,p);
    else modify(rson,p);
    if(used[rt])st[rt]=st[rt*]+st[rt*+];
}
mat query(int l,int r,int rt,int L,int R)
{
    if(L==l&&r==R)return st[rt];
    int mid=(l+r)/;
    if(R<=mid)return query(lson,L,R);
    if(L>mid)return query(rson,L,R);
    return query(lson,L,mid)+query(rson,mid+,R);
}
void dfs(int u)
{
    sz[u]=;
    dep[u]=dep[fa[u]]+;
    for(int i=;i<G[u].size();i++)
    if(G[u][i]!=fa[u])
    {
        fa[G[u][i]]=u;
        dfs(G[u][i]);
        sz[u]+=sz[G[u][i]];
        if(sz[G[u][i]]>sz[son[u]])son[u]=G[u][i];
    }
}
void repos(int u)
{
    to.f[][]=cf[u],to.f[][]=cg[u],to.f[][]=to.f[][]=1ll<<;
    modify(,n,,dfn[u]);
}
void dfs(int u,int tp)
{
    bel[u]=tp;
    pos[bel[u]]=dfn[u]=++cnt;
    tid[cnt]=u;
    cf[u]+=p[u];
    f[u]+=p[u];
    if(son[u])dfs(son[u],tp);
    for(int i=;i<G[u].size();i++)
    if(G[u][i]!=fa[u])
    {
        if(G[u][i]!=son[u])dfs(G[u][i],G[u][i]);
        f[u]+=min(f[G[u][i]],g[G[u][i]]);
        g[u]+=f[G[u][i]];
    }
    if(bel[u]==u)cf[fa[u]]+=min(f[u],g[u]),cg[fa[u]]+=f[u];
    repos(u);
}
void update(int x)
{
    while(x)
    {
        int b=bel[x];
        ll mn1=min(f[b],g[b]),mn2=f[b];
        cf[fa[b]]-=mn1;
        cg[fa[b]]-=mn2;
        repos(x);
        mat it=query(,n,,dfn[b],pos[b]);
        f[b]=min(it.f[][],it.f[][]);
        g[b]=min(it.f[][],it.f[][]);
        cf[fa[b]]+=min(f[b],g[b]);
        cg[fa[b]]+=f[b];
        if(f[b]==mn2&&min(f[b],g[b])==mn1)break;
        x=fa[bel[x]];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%*s",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++)scanf("%lld",&p[i]);
    for(int i=,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),G[x].push_back(y),G[y].push_back(x);
    build(,n,);
    dfs();
    dfs(,);
    build(,n,);
    while(m--)
    {
        int a,x,b,y;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&x,&b,&y);
        if((fa[a]==b||fa[b]==a)&&x+y==){puts("-1");continue;}
        (x?cg[a]:cf[a])+=1ll<<,update(a);
        (y?cg[b]:cf[b])+=1ll<<,update(b);
        ll ans=min(cf[],cg[]);
        (x?cg[a]:cf[a])-=1ll<<,update(a);
        (y?cg[b]:cf[b])-=1ll<<,update(b);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

自动机上DP：https://www.luogu.org/problemnew/show/P5279

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=,mod=;
int n,tot,ans,c[][],fac[N],inv[N],has[N],f[][N][],ch[N][];
struct node{
    int f[][][],cnt;
    node(){memset(f,-,sizeof f),f[][][]=cnt=;}
    bool operator<(const node&x)const
    {
        for(int i=;i<;i++)
        for(int j=;j<;j++)
        for(int k=;k<;k++)
        if(f[i][j][k]!=x.f[i][j][k])return f[i][j][k]<x.f[i][j][k];
        return cnt<x.cnt;
    }
}st[N];
void add(int&a,long long b){a=(a+b)%mod;}
map<node,int>S;
node trans(node u,int x)
{
    node ret;
    ret.cnt=min(u.cnt+(x>=),);
    for(int a=;a<;a++)
    for(int b=;a+b<;b++)
    for(int i=;i<;i++)
    for(int j=;j<;j++)
    for(int k=;k<;k++)
    if(i+j+k+b*<=x&&u.f[a][i][j]!=-)
    ret.f[a+b][j][k]=max(ret.f[a+b][j][k],min(u.f[a][i][j]+i+(x-i-j-k-b*)/,));
    return ret;
}
int dfs(node u)
{
    if(S.count(u))return S[u];
    if(u.cnt==)return ;
    for(int i=;i<;i++)for(int j=;j<;j++)if(u.f[][i][j]==)return ;
    st[++tot]=u,S[u]=tot;
    int pos=tot;
    for(int i=;i<=;i++)ch[pos][i]=dfs(trans(u,i));
    return pos;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=,x;i<=;i++)scanf("%d%*d",&x),has[x]++;
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        c[i][]=;
        for(int j=;j<=i;j++)c[i][j]=c[i-][j-]+c[i-][j];
    }
    fac[]=inv[]=inv[]=;for(int i=;i<=*n;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=;i<=*n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i-]*inv[i]%mod;
    dfs(node());
    f[][][]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        memset(f[i&],,sizeof f[i&]);
        for(int j=;j<=tot;j++)
        for(int k=has[i];k<=;k++)
        if(ch[j][k])
        for(int t=;t<=(i-)*;t++)
        add(f[i&][ch[j][k]][k+t],1ll*f[i-&][j][t]*c[-has[i]][k-has[i]]);
    }
    for(int i=,sum;i<=n*-;i++)
    {
        sum=;
        for(int j=;j<=tot;j++)add(sum,f[n&][j][i+]);
        add(ans,1ll*sum*fac[i]%mod*fac[*n--i]);
    }
    ans=(1ll*ans*inv[*n-]+)%mod;
    printf("%d",ans);
}

凸优化DP：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3642

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=6e5+;
struct node{int l,r,dis;ll v;}e[N];
int n,m,tot,fa[N],len[N],rt[N],d[N],cnt;
ll p[N],sum;
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(e[x].v<e[y].v)swap(x,y);
    e[x].r=merge(e[x].r,y);
    if(e[e[x].l].dis<e[e[x].r].dis)swap(e[x].l,e[x].r);
    if(!e[x].r)e[x].dis=;
    else e[x].dis=e[e[x].r].dis+;
    return x;
}
int pop(int x){return merge(e[x].l,e[x].r);}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n+m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&fa[i],&len[i]);
        sum+=len[i],d[fa[i]]++;
    }
    for(int i=n+m;i>;i--)
    {
        ll l=,r=;
        if(i<=n)
        {
            while(--d[i])rt[i]=pop(rt[i]);
            r=e[rt[i]].v,rt[i]=pop(rt[i]);
            l=e[rt[i]].v,rt[i]=pop(rt[i]);
        }
        e[++tot].v=l+len[i];
        e[++tot].v=r+len[i];
        rt[i]=merge(rt[i],merge(tot,tot-));
        rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]);
    }
    while(d[]--)rt[]=pop(rt[]);
    while(rt[])p[++cnt]=e[rt[]].v,rt[]=pop(rt[]);
    for(int i=;i<=cnt;i++)sum-=p[i];
    printf("%lld",sum);
}

插头DP：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3190

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=,mod=;
int n,m,ans,p,bin[],w[][],a[][N],f[][N],tot[N],hd[N],nxt[N];
void add(int S,int v)
{
    int u=S%mod;
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i])if(a[p][i]==S){f[p][i]=max(f[p][i],v);return;}
    a[p][++tot[p]]=S,nxt[tot[p]]=hd[u],hd[u]=tot[p],f[p][tot[p]]=v;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ans=-1e9;
    for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;j<=m;j++)
    scanf("%d",&w[i][j]);
    bin[]=;for(int i=;i<=;i++)bin[i]=bin[i-]<<;
    tot[p]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        for(int j=;j<=tot[p];j++)a[p][j]<<=;
        for(int j=;j<=m;j++)
        {
            p^=;
            memset(hd,,sizeof hd);
            tot[p]=;
            for(int k=;k<=tot[p^];k++)
            {
                int S=a[p^][k],b1=(S>>j*-)%,b2=(S>>j*)%,val=f[p^][k];
                if(!b1&&!b2)
                {
                    if(i<n&&j<m)add(S+bin[j-]+*bin[j],val+w[i][j]);
                    add(S,val);
                }
                else if(!b1&&b2)
                {
                    if(j<m)add(S,val+w[i][j]);
                    if(i<n)add(S-b2*bin[j]+b2*bin[j-],val+w[i][j]);
                }
                else if(b1&&!b2)
                {
                    if(j<m)add(S-b1*bin[j-]+b1*bin[j],val+w[i][j]);
                    if(i<n)add(S,val+w[i][j]);
                }
                else if(b1==&&b2==)
                {
                    int k1=;
                    for(int t=j+;t<=m;++t)
                    {
                        if((S>>t*)%==)k1++;
                        if((S>>t*)%==)k1--;
                        if(!k1){add(S-bin[j-]-bin[j]-bin[t],val+w[i][j]);break;}
                    }
                }
                else if(b1==&&b2==)
                {
                    int k1=;
                    for(int t=j-;t>=;--t)
                    {
                        if((S>>t*)%==)k1--;
                        if((S>>t*)%==)k1++;
                        if(!k1){add(S-*bin[j-]-*bin[j]+bin[t],val+w[i][j]);break;}
                    }
                }
                else if(b1==&&b2==)add(S-*bin[j-]-bin[j],val+w[i][j]);
                else if(S-bin[j-]-*bin[j]==)ans=max(ans,val+w[i][j]);
            }
        }
    }
    printf("%d",ans);
}

容斥：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3812

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=,mod=1e9+;
int n,m,pw[N],f[N],g[N],h[N],p[N],in[N],ou[N],cnt[N],sz[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    pw[]=;
    for(int i=;i<=m;++i)pw[i]=2ll*pw[i-]%mod;
    for(int i=,x,y;i<=m;++i)scanf("%d%d",&x,&y),in[<<(--y)]|=<<(--x),ou[<<x]|=<<y;
    sz[]=;
    for(int i=;i<(<<n);++i)sz[i]=sz[i^(i&-i)]+;
    for(int S=;S<(<<n);++S)
    {
        int s=S&-S,T=S^s;
        h[S]=h[T]+sz[in[s]&T]+sz[ou[s]&T],g[S]=,f[S]=pw[h[S]];
        for(int R=T;R;R=(R-)&T)g[S]=(g[S]-1ll*g[R]*f[S^R]%mod+mod)%mod;
        for(int R=S,t;R;R=(R-)&S)
        {
            if(R==S)p[R]=;else t=(R^S)&-(R^S),p[R]=p[R^t]+sz[ou[t]&R]-sz[in[t]&(R^S)];
            f[S]=(f[S]-1ll*pw[p[R]+h[R^S]]*g[R]%mod+mod)%mod;
        }
        g[S]=(g[S]+f[S])%mod;
    }
    printf("%d",f[(<<n)-]);
}