adaboost原理和实现

上两篇说了决策树到集成学习的大概，这节我们通过adaboost来具体了解一下集成学习的简单做法。

集成学习有bagging和boosting两种不同的思路，bagging的代表是随机森林，boosting比较基础的adaboost，高级一点有GBDT，在这里我也说下我理解的这两个做法的核心区别：

随机森林的bagging是采用有放回抽样得到n个训练集，每个训练集都会有重复的样本，每个训练集数据都一样，然后对每个训练集生成一个决策树，这样生成的每个决策树都是利用了整个样本集的一部分，也就说每棵决策树只是学习了大部分，然后决策的时候综合每棵决策树的评分，最终得出一个总的评分

boosting的adaboost每次训练的时候用的是同一个数据集，但是前一棵决策树分错的样本在后面的权重会升高，相当于说，后面的决策树利用了前面决策树学习的结果，不断的优化这个结果，也就是说，后面的决策树恰恰擅长的是前面决策树不擅长（分错）的样本，相当于说，boosting的每棵决策树擅长的“领域”不一样，并且在擅长的领域都很厉害

而对比bagging，bagging中的每一棵树都是同样普通的决策树，相当于每棵决策树擅长的“领域”区分不大，也没有很擅长。

下面我们看下adaboost是如何工作的吧，这次我们使用更简单的例子。

这是二维平面的上的两个点，红色是正样本，绿色是负样本，如果使用强分类器，例如深度大于1的决策树，很简单就可以区分开了，或者使用逻辑回归，计算一下，就可以轻松得到一条直线把这两个类别的点区分开了，我们这里主要是先学习adaboost是如何把弱分类器组装成强大的强分类器以及boosting的学习效果

类别和之前不一样，这里的正负样本的类似是1，-1，原因是预测结果的分界线不一样，决策树是没有对类别做任何的操作，adaboost设计到多棵树的权重相加，使用0作为正负样本的分界线会更好

def loadSimpData():
    datMat = matrix([[ 1. ,  2.1],
        [ 2. ,  1.1],
        [ 1.3,  1. ],
        [ 1. ,  1. ],
        [ 2. ,  1. ]])
    classLabels = [1.0, 1.0, -1.0, -1.0, 1.0]
    return datMat,classLabels

选择弱分类器：深度为1的决策树无疑是很弱的分类器，深度为1的决策树我们一般称为决策树墩，决策树墩在二维平面上是一条平行坐标轴的直线

对于我们的数据集，决策树墩是没有办法正确划分的，除非能学习出直线之间的组合关系

决策树墩做什么事情：决策树墩做的事情是根据特征的特征值给出判断错误的列表（个数）

def stumpClassify(dataMatrix,dimen,threshVal,threshIneq):#just classify the data
    retArray = ones((shape(dataMatrix)[0],1))
    if threshIneq == 'lt':
        retArray[dataMatrix[:,dimen] <= threshVal] = -1.0
    else:
        retArray[dataMatrix[:,dimen] > threshVal] = -1.0
    return retArray

构建决策树墩：设定步伐，遍历所有的特征和步伐（阀值）和方向（大于阀值还是小于阀值），找到最好的特征以及步伐和方向

得到错误率最小的特征，步伐和方向

def buildStump(dataArr,classLabels,D):
    dataMatrix = mat(dataArr); labelMat = mat(classLabels).T
    m,n = shape(dataMatrix)
    numSteps = 10.0; bestStump = {}; bestClasEst = mat(zeros((m,1)))
    minError = inf #初始化为无穷大
    for i in range(n):#遍历所有的特征
        rangeMin = dataMatrix[:,i].min(); rangeMax = dataMatrix[:,i].max();
        stepSize = (rangeMax-rangeMin)/numSteps
        for j in range(-1,int(numSteps)+1):#遍历当前特征的所有步伐
            for inequal in ['lt', 'gt']: #遍历当前特征当前步伐的所有方向
                threshVal = (rangeMin + float(j) * stepSize)
                predictedVals = stumpClassify(dataMatrix,i,threshVal,inequal)#用该决策树墩去预测，返回预测的结果
                errArr = mat(ones((m,1)))
                errArr[predictedVals == labelMat] = 0
                weightedError = D.T*errArr  #每个样本的权重*每个样本划分对错（对的为零，错的为一，所以这里计算的是错误的权重）
                # print "split: dim %d, thresh %.2f, thresh ineqal: %s, the weighted error is %.3f" % (i, threshVal, inequal, weightedError)
                if weightedError < minError:
                    minError = weightedError
                    bestClasEst = predictedVals.copy()
                    bestStump['dim'] = i
                    bestStump['thresh'] = threshVal
                    bestStump['ineq'] = inequal
    return bestStump,minError,bestClasEst

下面是adaboost的核心内容：如何提高划分错的样本的权重

首先用当前划分的错误计算得到一个α值（每个决策树墩的权重），然后对每个样本根据区分对错改变其权重值，最后最改变权重后的样本的权重做归一化

def adaBoostTrainDS(dataArr,classLabels,numIt=40):
    weakClassArr = []
    m = shape(dataArr)[0]
    D = mat(ones((m,1))/m)   #一开始所有样本的权重一样
    aggClassEst = mat(zeros((m,1)))
    for i in range(numIt):
        bestStump,error,classEst = buildStump(dataArr,classLabels,D)#构建决策树墩，找到最优的决策树墩
        #print "D:",D.T
        alpha = float(0.5*log((1.0-error)/max(error,1e-16)))#计算α值
        bestStump['alpha'] = alpha
        #print "classEst: ",classEst.T
        expon = multiply(-1*alpha*mat(classLabels).T,classEst) #计算新的权重
        D = multiply(D,exp(expon))                              #权重归一化
        D = D/D.sum()
        #每个样本到当前的评分
        aggClassEst += alpha*classEst
        #得到分类错误的列表（分对为零，分错为1，计算内积，得到分错的个数）
        aggErrors = multiply(sign(aggClassEst) != mat(classLabels).T,ones((m,1)))
        errorRate = aggErrors.sum()/m
        print "total error: ",errorRate
        bestStump['error_rate']=errorRate
        weakClassArr.append(bestStump)                  #记录每一棵最优的决策树墩
        if errorRate == 0.0: break
    return weakClassArr,aggClassEst

下面我们看每一棵决策树墩的分类的效果吧：样本类别如下：

[1.0, 1.0, -1.0, -1.0, 1.0]

每个样本的权重如下

[ 0.2  0.2  0.2  0.2  0.2]

第一棵决策树，X1小于等于1.3为负样本，这棵树的权重为0.69，错误率0.2（分错了一个），每个样本被预测的结果如下：

[-0.69314718  0.69314718 -0.69314718 -0.69314718  0.69314718]

第一次权重调整：可以发现第一个样本（被分错的）权重升高了

[ 0.5    0.125  0.125  0.125  0.125]

两棵决策树：第二棵决策树X2小于等于1.0为负样本，权重0.97，错误率还是0.2，样本预测总评分如下

[ 0.27980789  1.66610226 -1.66610226 -1.66610226 -0.27980789]

第二次调整权重，可以看到最后一次被分错的权重最高，前一次被分错的稍小，一直被分对的概率最小

[ 0.28571429  0.07142857  0.07142857  0.07142857  0.5       ]

看下三棵决策树墩的效果：X1小于等于0.9的为负样本，权重0.9，错误率0，所有样本评分如下：可以发现虽然每个正样本的评分都大于0，但是有些评分已经高达2.5了，不过我们也发现，最后的评分跟一直分对或者分错没什么关系

[ 1.17568763  2.56198199 -0.77022252 -0.77022252  0.61607184]

在这个简单的数据中，错误率可以降到0，但是不是所有的数据集都可以达到错误率为0的，比如我们前面的100个点的实验

真正的原因在于数据集在特征维度是否是超平面可分的，如果可以，adaboost理论上可以把错误率降到0

希望到这里大家可以理解adaboost，理解集成学习。