洛谷 P1494 BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

//洛谷题面字体、排版我向来喜欢，却还没收录这道如此有名的题，BZOJ的题面字体太那啥啦，清橙的题面有了缩进，小标题却和正文字体一致，找个好看的题面咋这么难呐…………

//2019年3月23日23:07:06  洛谷把这题放在了P1494的位置。我以前做的不少水题都被删了的说（洛谷的难度标识太吓人了，当年看见不少题都是因为标称难度不敢做的。大学acm时抛开这个大包袱，看着那些题也不难）

题目描述

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

输入

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

输出

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

样例输入

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

样例输出

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

提示

 无

来源

版权所有者：莫涛

解题思路

　　莫队算法是莫队(上面那个莫涛，当时IOI国家队队长来着)发明的%%%%%%。大概思路我在这里大概描述过。这题重点就是推公式，然而不会在这里打公式留坑，学会了再来填坑吧(逃)。 //2019年03月05日19:55:12 会打公式了，但啥是莫队啊 //2019年3月23日23:10:08 挺简单的。答案是一个分数，显然约分之前，分母就是$C_{r-l+1}^2$，求分子fz有两个方向——

　　　　1、刚开始区间长度为零时fz肯定时0，每当扩增一个元素时，就相当于新加进来的袜子可以和区间内原有的同色袜子分别匹配，方案数就增加f[c[i]]，然后f[c[i]]再加一。

　　　　2、另一种思路就是，每变化一种颜色，分子产生的变化大概是这样——$C_{f[c[i]]+1}^2-C_{f[c[i]]}^2$。把式子展开，和分母放在一起，该约分约分，该提公因式提公因式，然后就可以写代码了。

　　下面的源代码，第一份是高中时的，第二个方向，第二份时2019年3月24日01:26:19的(不小心又那么晚了，效率低，但一直想不到办法？)，第一个方向。

源代码

　　吐槽别问我为什么for里的i都要开long long，只有f数组、分子fz开long long的后果——

　　清橙能看每个点的情况真好，不像BZOJ就一个WA。

　　一气之下我选择了"查找替换"把int全换成long long了(除了main函数)

　　极限数据50000*50000，longlong会教你做人←_←

2019年3月24日01:43:02更新 其实是常数1搞得，，，把那些加减乘除位移啥的里面的1全部换成1LL就好，见第二份代码。变量提升啥的也不是很智能的说。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 long long n,m;

 long long color[]={};
 long long f[]={};//桶，存区间内颜色数量

 long long ll,rr;
 long long fz;

 struct que{
     long long l;
     long long r;
     long long pos;
     long long id;
     long long ansz,ansm;
 }q[];
 bool cmp1(const que & a,const que & b)
 {
     return a.pos==b.pos?a.r<b.r:a.pos<b.pos;
 }
 bool cmp2(const que & a,const que & b)
 {
     return a.id<b.id;
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     long long kuai=sqrt(n);
     for(long long i=;i<=n;i++)
         scanf("%lld",color+i);
     for(long long i=,l,r;i<=m;i++)
     {
         scanf("%lld%lld",&l,&r);
         q[i].l=l;
         q[i].r=r;
         q[i].pos=l/kuai;
         q[i].id=i;
     }
     sort(q+,q++m,cmp1);
     ll=,rr=,fz=;
     f[color[]]++;
     for(long long i=;i<=m;i++)
     {
         while(rr<q[i].r)
         {
             rr++;
             f[color[rr]]++;
             fz+=f[color[rr]]-<<;
         }
         while(ll<q[i].l)
         {
             f[color[ll]]--;
             fz-=f[color[ll]]<<;
             ll++;
         }

         while(ll>q[i].l)
         {
             ll--;
             fz+=f[color[ll]]<<;
             f[color[ll]]++;
         }
         while(rr>q[i].r)
         {
             f[color[rr]]--;
             fz-=f[color[rr]]<<;
             rr--;
         }
         q[i].ansz=fz;
         q[i].ansm=(rr-ll+)*(rr-ll);
     }
     sort(q+,q++m,cmp2);
     for(long long i=;i<=m;i++)
     {
         if(!q[i].ansz)
         {
             printf("0/1\n");
             continue;
         }
         long long temp=__gcd(q[i].ansz,q[i].ansm);
         printf("%lld/%lld\n",q[i].ansz/temp,q[i].ansm/temp);
     }
     return ;
 }

 #include<algorithm>
 #include<stdio.h>
 #include<math.h>//码风变化还是有啊

 int n,t,m;
 int c[];
 struct Que{
     int l;
     int r;
     int id;
     long long ansz,ansm;
     bool operator <(const Que & y)const{
         if(l/t==y.l/t) return r<y.r;
         return l/t<y.l/t;
     }
 }q[];
 inline bool cmp2(const Que & a,const Que & b){return a.id<b.id;}
 long long count[];

 int main()
 {
     // freopen("test.in","r",stdin);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     t=sqrt(n);//块数
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",c+i);
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
         q[i].id=i;
     }
     std::sort(q,q+m);
     long long fz=;
     int l=,r=;
     count[c[]]++;
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         while(r<q[i].r)
         {
             r++;
             fz+=count[c[r]];
             count[c[r]]++;
         }
         while (l>q[i].l)
         {
             l--;
             fz+=count[c[l]];
             count[c[l]]++;
         }
         while(r>q[i].r)
         {
             count[c[r]]--;
             fz-=count[c[r]];
             r--;
         }
         while(l<q[i].l)
         {
             count[c[l]]--;
             fz-=count[c[l]];
             l++;
         }
         q[i].ansz=fz;
         q[i].ansm=(r-l+1LL)*(r-l)>>1LL;
     }
     std::sort(q,q+m,cmp2);
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         if(q[i].ansz==) printf("0/1\n");
         else
         {
             long long g=std::__gcd(q[i].ansz,q[i].ansm);
             printf("%lld/%lld\n",q[i].ansz/g,q[i].ansm/g);
         }
     }
     return ;
 }