【BZOJ5020】[LOJ2289]【THUWC2017】在美妙的数学王国中畅游 - LCT+泰勒展开

咕咕咕？咕咕咕！

题意：

Description

数字和数学规律主宰着这个世界。

机器的运转，

生命的消长，

宇宙的进程，

这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。

这印证了一句古老的名言：

“学好数理化，走遍天下都不怕。”

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：

正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

Input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。

表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。

typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。

其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。

接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。

一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若

f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。

appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。

disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v

（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。

若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

1≤n≤100000,1≤m≤200000

Output

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

Hint

【小R教你学数学】

若函数$f(x)$的$n$阶导数在$[a,b]$区间内连续，则对$f(x)$在$x_0(x_0∈[a,b])$处使用$n$次拉格朗日中值定理可以得到带拉格朗日余项的泰勒展开式：

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f^{''}(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n}{n!}$$

$$x∈[a,b]$$

其中，当$x>x_0$时，$\xi∈[x_0,x]$。当$x<x_0$时，$\xi∈[x,x_0]$

$f^{(n)}$表示函数$f$的$n$阶导数

题解：

提示直接告诉你做法啊……

LCT维护操作谁都会，主要是维护这三个函数的值；

首先根据提示把三个函数分别泰勒展开，若干项之后误差就会很小，实测取十五位就可以满足精度要求；

考虑询问，要求的实际上就是$\sum\limits_{i∈<u,v>}F(x)$（其中$x$表示那个人的智商）；

因此$x$是一个定值，泰勒展开式里每一项的$\frac{(x-x_0)^i}{i!}$可以直接提取出来，LCT维护每个点子树中所有函数的0到15阶导之和，计算答案时再乘回去就行了；

具体实现我选了在$x=1/2$处展开；

时间复杂度$O(15nlogn)$，常数略大

代码：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define inf 2147483647
 #define eps 1e-9
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 const double pi=acos(-1.0);
 const double e=pow(,/log());
 struct node{
     int fa,rev,son[];
     db s[];
 }t[];
 int n,m,x,y,top,st[],f[];
 db ans,k,t1,t2,a[],b[];
 char ty[];
 void updata(int u){
     if(f[u]==){
         t[u].s[]=sin(a[u]*.+b[u]);
         t[u].s[]=cos(a[u]*.+b[u])*a[u];
         for(int i=;i<;i++){
             t[u].s[i]=-t[u].s[i-]*(a[u]*a[u]);
         }
     }else if(f[u]==){
         t[u].s[]=pow(e,a[u]*.+b[u]);
         for(int i=;i<;i++){
             t[u].s[i]=t[u].s[i-]*a[u];
         }
     }else{
         t[u].s[]=a[u]*.+b[u];
         t[u].s[]=a[u];
         for(int i=;i<;i++)t[u].s[i]=;
     }
     for(int i=;i<;i++){
         t[u].s[i]+=t[t[u].son[]].s[i]+t[t[u].son[]].s[i];
     }
 }
 bool ntrt(int u){
     return t[t[u].fa].son[]==u||t[t[u].fa].son[]==u;
 }
 bool sn(int u){
     return t[t[u].fa].son[]==u;
 }
 void getr(int u){
     swap(t[u].son[],t[u].son[]);
     t[u].rev^=;
 }
 void pushr(int u){
     if(t[u].rev){
         if(t[u].son[])getr(t[u].son[]);
         if(t[u].son[])getr(t[u].son[]);
         t[u].rev=;
     }
 }
 void rotate(int u){
     int f=t[u].fa,ff=t[f].fa,ch=sn(u),cf=sn(f);
     if(ntrt(f))t[ff].son[cf]=u;
     t[f].son[ch]=t[u].son[ch^];
     t[t[f].son[ch]].fa=f;
     t[u].son[ch^]=f;
     t[f].fa=u;
     t[u].fa=ff;
     updata(f);
     updata(u);
 }
 void splay(int u){
     st[top=]=u;
     for(int nw=u;ntrt(nw);nw=t[nw].fa)st[++top]=t[nw].fa;
     while(top)pushr(st[top--]);
     for(;ntrt(u);rotate(u)){
         int f=t[u].fa;
         if(ntrt(f)){
             rotate(sn(u)^sn(f)?u:f);
         }
     }
 }
 void access(int u){
     for(int nw=;u;nw=u,u=t[u].fa){
         splay(u);
         t[u].son[]=nw;
         updata(u);
     }
 }
 void mkroot(int u){
     access(u);
     splay(u);
     getr(u);
 }
 void split(int u,int v){
     mkroot(u);
     access(v);
     splay(v);
 }
 void link(int u,int v){
     mkroot(u);
     t[u].fa=v;
 }
 void cut(int u,int v){
     split(u,v);
     t[u].fa=t[v].son[]=;
     updata(v);
 }
 int getroot(int u){
     access(u);
     splay(u);
     while(t[u].son[]){
         pushr(u);
         u=t[u].son[];
     }
     return u;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%s",&n,&m,ty);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d%lf%lf",&f[i],&a[i],&b[i]);
     }
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%s",ty);
         if(ty[]=='a'){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             x++,y++;
             link(x,y);
         }else if(ty[]=='d'){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             x++,y++;
             cut(x,y);
         }else if(ty[]=='m'){
             scanf("%d",&x);
             x++;
             mkroot(x);
             scanf("%d%lf%lf",&f[x],&a[x],&b[x]);
             updata(x);
         }else{
             scanf("%d%d%lf",&x,&y,&k);
             x++,y++;
             if(getroot(x)!=getroot(y))puts("unreachable");
             else{
                 ans=;
                 t1=t2=;
                 split(x,y);
                 for(int i=;i<;i++){
                     ans+=t[y].s[i]*t2/t1;
                     t1*=(i+);
                     t2*=(k-.);
                 }
                 printf("%.8e\n",ans);
             }
         }
     }
     return ;
 }