【bzoj4942】[Noi2017]整数 压位+线段树

题目描述

P 博士将他的计算任务抽象为对一个整数的操作。

具体来说，有一个整数 $x$ ，一开始为0。

接下来有 $n$ 个操作，每个操作都是以下两种类型中的一种：

1 a b ：将 $x$ 加上整数 $a⋅2^b$ ，其中 $a$ 为一个整数，$b$ 为一个非负整数
2 k ：询问 $x$ 在用二进制表示时，位权为 $2^k$ 的位的值（即这一位上的 $1$ 代表 $2^k$ ）

保证在任何时候，$x≥0$。

输入

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含四个正整数 $n,t_1,t_2,t_3$ ，$n$ 的含义见题目描述，$t_1,t_2,t_3$ 的具体含义见子任务。

接下来 $n$ 行，每行给出一个操作，具体格式和含义见题目描述。

同一行输入的相邻两个元素之间，用恰好一个空格隔开。

输出

输出到标准输出。

对于每个询问操作，输出一行，表示该询问的答案（0或1）。 对于加法操作，没有任何输出。

样例输入

10 3 1 2
1 100 0
1 2333 0
1 -233 0
2 5
2 7
2 15
1 5 15
2 15
1 -1 12
2 15

样例输出

0
1
0
1
0

---

题解

压位+线段树

考场上想出了 $n\log^2n$ 的做法，然而没有想出压位就GG了。。。

先说 $n\log^2n$ 的做法：

由于 $|a|$ 只有 $10^9$ ，因此把 $a$ 分解成 $\sum 2^i$ 的形式，就变成了 $\log n$ 次加/减 $2^k$ 。

考虑加法，如果这一位是0则直接改为1，否则进位，相当于这一位变成0，下一位+1。最终结果就是找到这一位下面第一个为0的位，把该位+1，[当前位,该位)变成0。

减法同理，如果是1则直接该为0，否则退位，找到这一位下面第一个为1的为，把该位-1，[当前位,该位)变成1。

使用线段树维护区间是否全为0/1，单次加减的时间复杂度就是 $\log n$ ，$n$ 次 $\log n$ 次加减，时间复杂度 $O(n\log^2n)$ ，这样只有68分。

考虑优化：维护01信息过于浪费，考虑压位，维护每连续30位的数是什么。这样一次操作最多给两个位加减，加法就判断这一位加了以后是否超过 $2^{30}-1$ ，超过就找下面第一个不为 $2^{30}-1$ 的位，把该位+1，(当前位，该位)变成0，当前位直接变成进位后的结果。减法同理。

其中维护一段区间是否全 $0$ /全 $2^{30}-1$ 可以通过维护区间或和区间与来解决。

这样压位后时间复杂度就变为了 $O(n\log n)$

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define lson l , mid , x << 1
#define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1
using namespace std;
const int m = 1000010 , s = (1 << 30) - 1;
int vo[m << 2] , va[m << 2] , tag[m << 2];
char pbuf[2000010] , *pp = pbuf;
inline char nc()
{
	static char buf[100000] , *p1 , *p2;
	return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf , 1 , 100000 , stdin) , p1 == p2) ? EOF : *p1 ++ ;
}
inline int read()
{
	int ret = 0 , f = 0; char ch = nc();
	while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-') , ch = nc();
	while(isdigit(ch)) ret = ((ret + (ret << 2)) << 1) + (ch ^ '0') , ch = nc();
	return f ? -ret : ret;
}
inline void pushup(int x)
{
	vo[x] = vo[x << 1] | vo[x << 1 | 1];
	va[x] = va[x << 1] & va[x << 1 | 1];
}
inline void pushdown(int x)
{
	if(~tag[x])
	{
		int l = x << 1 , r = x << 1 | 1;
		vo[l] = vo[r] = va[l] = va[r] = tag[l] = tag[r] = tag[x];
		tag[x] = -1;
	}
}
inline void fix(int p , int v , int l , int r , int x)
{
	if(l == r)
	{
		vo[x] += v , va[x] += v;
		return;
	}
	pushdown(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) fix(p , v , lson);
	else fix(p , v , rson);
	pushup(x);
}
inline void update(int b , int e , int v , int l , int r , int x)
{
	if(b <= l && r <= e)
	{
		vo[x] = va[x] = tag[x] = v;
		return;
	}
	pushdown(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(b <= mid) update(b , e , v , lson);
	if(e > mid) update(b , e , v , rson);
	pushup(x);
}
inline int findzero(int p , int l , int r , int x)
{
	if(!vo[x]) return -1;
	if(l == r) return l;
	pushdown(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid)
	{
		int t = findzero(p , lson);
		return ~t ? t : findzero(p , rson);
	}
	else return findzero(p , rson);
}
inline int findinf(int p , int l , int r , int x)
{
	if(va[x] == s) return -1;
	if(l == r) return l;
	pushdown(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid)
	{
		int t = findinf(p , lson);
		return ~t ? t : findinf(p , rson);
	}
	else return findinf(p , rson);
}
inline int query(int p , int l , int r , int x)
{
	if(l == r) return va[x];
	pushdown(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) return query(p , lson);
	else return query(p , rson);
}
inline void add(int p , int a)
{
	int t = query(p , 0 , m , 1);
	if(t + a <= s) fix(p , a , 0 , m , 1);
	else
	{
		fix(p , a - s - 1 , 0 , m , 1);
		int q = findinf(p + 1 , 0 , m , 1);
		if(q != p + 1) update(p + 1 , q - 1 , 0 , 0 , m , 1);
		fix(q , 1 , 0 , m , 1);
	}
}
inline void del(int p , int a)
{
	int t = query(p , 0 , m , 1);
	if(t - a >= 0) fix(p , -a , 0 , m , 1);
	else
	{
		fix(p , s + 1 - a , 0 , m , 1);
		int q = findzero(p + 1 , 0 , m , 1);
		if(q != p + 1) update(p + 1 , q - 1 , s , 0 , m , 1);
		fix(q , -1 , 0 , m , 1);
	}
}
int main()
{
	int n = read() , opt , x , y , p;
	read() , read() , read();
	while(n -- )
	{
		opt = read() , x = read();
		if(opt == 1)
		{
			y = read() , p = y / 30;
			if(x > 0)
			{
				add(p , (x << (y - p * 30)) & s);
				add(p + 1 , x >> (30 - (y - p * 30)));
			}
			else if(x < 0)
			{
				x = -x;
				del(p , (x << (y - p * 30)) & s);
				del(p + 1 , x >> (30 - (y - p * 30)));
			}
		}
		else
		{
			p = x / 30;
			*pp ++ = (query(p , 0 , m , 1) & (1 << (x - p * 30)) ? 1 : 0) ^ '0' , *pp ++ = '\n';
		}
	}
	fwrite(pbuf , 1 , pp - pbuf , stdout);
	return 0;
}