Description

  

  BZOJ传送门

  

  

  

Solution

  

  这题涉及到指数嵌套堆叠,可能可以用欧拉函数解决。

  

  试想一个数\(a_i\)经过\(k\)次操作后会变成什么?

\[k个c\;\;
\begin{cases}
{c^{c^{a_i}}}
\end{cases}
\]

  我们有扩展欧拉定理,\(a,x,p\)为任意正整数:

\[a^x \equiv
\begin{cases}
a^{x\;mod\;\varphi(p)+\varphi(p)}&x\ge\varphi(p)\\
a^x&x<\varphi(p)
\end{cases}
\mod p
\]

  记\(f(k,p,a)\)表示\(个k个c\begin{cases}{c^{c^{a}}}\end{cases}\mod p\)

\[\begin{aligned}
f(k,p,a)&=c^{c^a\; mod\;\varphi(p)\;[+\varphi(p)]}\mod p\\
&=c^{f(k-1,\varphi(p),a)\;mod\;\varphi(p)\;[+\varphi(p)]}
\end{aligned}
\]

  注意后面的\([+\varphi(p)]\)要比较\(f(k-1,\varphi(p),a)\)与\(\varphi(p)\)的相对大小,如何比较呢?由于\(\varphi\)的增长速度远低于一个指数爆炸的函数,所以一旦某一次开始需要\(+\varphi(p)\)时,之后就一定都需要加了。我们维护一个flag表示是否需要加。当\(f\)还比较小的时候(靠近底层),我们可以通过预处理的一些\(c\)的幂(不模)来判断,那么这一部分就这样解决了。

   

​  至多经过\(O(\log p)\)次递归后,\(p\)会变成1,这是一个边界条件,因为此时\(f(k,1,a)=0\),再多的递归也毫无意义了。这意味着每一个数进行\(O(\log p)\)次操作后,它的值就不会再变化了,它的\(f\)会是一个定值。

  

  我们想到了线段树的经典处理方法:如果这一段还有人未固定,那么就递归计算;否则,这一段根本不需要改变,直接退出。

  

  实现细节较多,我们要省去快速幂的过程,所以做一个10000进制的快速幂预处理。我想了好久才想出\(f\)的计算代码......

  

  

  

Code

  

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50005;
int n,m,MOD,c;
int a[N];
int dphi[100],dcnt;
ll mi[63];
int maxtop;
int mi1[80][10001],mi2[80][10001];
inline int add(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
int powc(int x,int id){
int s1=x/10000,s2=x-s1*10000;
return 1LL*mi1[id][s2]*mi2[id][s1]%dphi[id];
}
inline int getPhi(int x){//计算phi(x) O(sqrt(x))
int res=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++)
if(!(x%i)){
res-=res/i;
while(!(x%i)) x/=i;
}
if(x!=1) res-=res/x;
return res;
}
inline int ksm(int x,int y,int M){//计算x^y % M
int res=1;
for(;y;x=1LL*x*x%M,y>>=1)
if(y&1) res=1LL*res*x%M;
return res;
}
inline bool check(int x,int p){return (x>maxtop)||(mi[x]>=p);}//检查c^x是否大于等于p
bool calc(int x,int d,int &y){//计算f d=k,p=输入的MOD,a=x
if(d>dcnt) return true;
bool flag=false;
if(x>=dphi[d]) flag=true;
ll last=(x%dphi[d]+(flag?dphi[d]:0));
ll res=powc(last,d-1);
for(int i=d-2;i>=0;i--){
if(!flag) flag|=check(last,dphi[i+1]);
if(flag) res+=dphi[i+1];
last=res;
res=powc(last,i);
}
y=res;
return false;
}
namespace SEG{/*{{{*/
int rt,sz,ch[N*2][2],sum[N*2],last[N*2],dep[N*2];
bool ok[N*2];
inline void pushup(int u){
sum[u]=add(sum[ch[u][0]],sum[ch[u][1]]);
ok[u]=ok[ch[u][0]]&&ok[ch[u][1]];
}
void build(int &u,int l,int r){
u=++sz;
if(l==r){
sum[u]=a[l];
last[u]=0;
ok[u]=false;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(ch[u][0],l,mid);
build(ch[u][1],mid+1,r);
pushup(u);
}
void modify(int u,int l,int r,int L,int R){
if(L>R) return;
if(ok[u]) return;
if(l==r){
last[u]=sum[u];
dep[u]++;
if(calc(a[l],dep[u],sum[u])) ok[u]=true;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) modify(ch[u][0],l,mid,L,R);
if(mid<R) modify(ch[u][1],mid+1,r,L,R);
pushup(u);
}
int query(int u,int l,int r,int L,int R){
if(L>R) return 0;
if(L<=l&&r<=R) return sum[u];
int mid=(l+r)>>1,res=0;
if(L<=mid) res=query(ch[u][0],l,mid,L,R);
if(mid<R) res=add(res,query(ch[u][1],mid+1,r,L,R));
return res;
}
}/*}}}*/
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&MOD,&c);
mi[0]=1;
if(c!=1)
for(maxtop=1;mi[maxtop-1]<=MOD;maxtop++)
mi[maxtop]=mi[maxtop-1]*c;
maxtop--;
dphi[0]=MOD;
for(dcnt=1;;dcnt++){
dphi[dcnt]=getPhi(dphi[dcnt-1]);
if(dphi[dcnt]==1) break;
}
dphi[++dcnt]=1;
for(int k=0;k<=dcnt;k++){
mi1[k][0]=1;
for(int i=1;i<=10000;i++) mi1[k][i]=1LL*mi1[k][i-1]*c%dphi[k];
for(int i=0;i<=10000;i++) mi2[k][i]=ksm(mi1[k][i],10000,dphi[k]);
}
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
SEG::build(SEG::rt,1,n);
int opt,x,y;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
if(!opt) SEG::modify(SEG::rt,1,n,x,y);
else printf("%d\n",SEG::query(SEG::rt,1,n,x,y));
}
return 0;
}

【BZOJ4869】【SHOI2017】相逢是问候的更多相关文章

  1. BZOJ4869 [Shoi2017]相逢是问候 【扩展欧拉定理 + 线段树】

    题目链接 BZOJ4869 题解 这题调得我怀疑人生,,结果就是因为某些地方\(sb\)地忘了取模 前置题目:BZOJ3884 扩展欧拉定理: \[c^a \equiv c^{a \mod \varp ...

  2. Bzoj4869: [Shoi2017]相逢是问候

    题面 传送门 Sol 摆定理 \[ a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~ ...

  3. bzoj4869: [Shoi2017]相逢是问候(欧拉函数+线段树)

    这题是六省联考的...据说数据还出了点锅,心疼六省选手QAQ 首先要知道扩展欧拉定理... 可以发现每次区间操作都会使模数进行一次phi操作,而一个数最多取logp次phi就会变成1,这时后面的指数就 ...

  4. BZOJ:4869: [Shoi2017]相逢是问候

    4869: [Shoi2017]相逢是问候 先说点正经的…… 显然做了有限次(我只知道是有限次,而且不会大,别人说是log次?)修改以后会达到不动点,即以后怎么修改都不变了. 然后就随便做了.(3个l ...

  5. bzoj 4869: [Shoi2017]相逢是问候 [扩展欧拉定理 线段树]

    4869: [Shoi2017]相逢是问候 题意:一个序列,支持区间\(a_i \leftarrow c^{a_i}\),区间求和.在模p意义下. 类似于开根操作,每次取phi在log次后就不变了. ...

  6. 【BZOJ4869】相逢是问候(线段树,欧拉定理)

    [BZOJ4869]相逢是问候(线段树,欧拉定理) 题面 BZOJ 题解 根据欧拉定理递归计算(类似上帝与集合的正确用法) 所以我们可以用线段树维护区间最少的被更新的多少次 如果超过了\(\varph ...

  7. 【BZOJ4869】相逢是问候 [线段树][欧拉定理]

    相逢是问候 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 512 MB[Submit][Status][Discuss] Description Informatikverbin ...

  8. BZOJ4869:[SHOI2017]相逢是问候——题解

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4869 题面复制于洛谷:https://www.luogu.org/problemnew/show/P ...

  9. 【bzoj4869】[Shoi2017]相逢是问候 线段树+扩展欧拉定理

    Description Informatikverbindetdichundmich. 信息将你我连结.B君希望以维护一个长度为n的数组,这个数组的下标为从1到n的正整数.一共有m个操作,可以 分为两 ...

  10. 【bzoj4869】[Shoi2017]相逢是问候 扩展欧拉定理+并查集+树状数组

    题目描述 Informatik verbindet dich und mich. 信息将你我连结. B君希望以维护一个长度为n的数组,这个数组的下标为从1到n的正整数.一共有m个操作,可以分为两种:0 ...

随机推荐

  1. jQuery的基本使用

    一.jQuery简介 jQuery是一个快速.简洁的JavaScript框架,它封装了JavaScript常用的功能代码,提供一种简便的JavaScript设计模式,优化HTML文档操作.事件处理.动 ...

  2. mybatis学习------打包xml映射文件

    编译mybatis时,idea不会将mybatis的xml映射文件一起打包进jar,即在编译好的jar包里缺少mybatis映射文件,导致网站加载失败 为解决这个问题,可在mybatis对应modul ...

  3. Final发布文案+美工

    团队名称:探路者 1蔺依铭:http://www.cnblogs.com/linym762/(组长) 2张恩聚:http://www.cnblogs.com/zej87/ 3米赫:http://www ...

  4. TeamWork#1,Week 5,Suggestions for Team Project

    我们团队联系到了我们六班的直系学长,并向他咨询了软件工程基础这门课的团队项目相关的问题.他们团队的名字命名为Z-XML,团队中的几个学长也都是我平时所熟识的.虽然学长已经大四,忙着考研工作等各种事务, ...

  5. 20172329 2018-2019 《Java软件结构与数据结构》实验三报告

    20172329 2018-2019-2 <Java软件结构与数据结构>实验三报告 课程:<Java软件结构与数据结构> 班级: 1723 姓名: 王文彬 学号:2017232 ...

  6. 解决Cygwin编译cocos2dx 遇到的 error: 'UINT64_C' was not declared in this scope 问题

    环境工具:Win10.VS2013.cocos2d-x-2.2.6.Cygwin.ADT 问题来源:写了一个小游戏,VS2013上运行成功,就尝试着打包apk,项目导入到ADT里面,添加了cocos2 ...

  7. Task 6.4 冲刺Two之站立会议6

    今天对视频的画面质量进行了优化,又把所有的界面更换了一些比较美观的图片和背景.使界面看起来更加地合理,易于接受.

  8. 第五次作业+4505B寝室队

    1.需求分析: 作一个简单的MP3播放器,并能显示播放文件的路径. 2.设计思路: 用窗体设计播放器的界面,以市面上主流的播放器为标准,采用一个窗体的界面. 3.实现的功能: 第一是能播放MP3文件, ...

  9. 听说 —— beta冲刺总结

    听说 -- beta冲刺总结 beta冲刺成员名单 姓名 学号 负责方向 个人主页 周龙荣 031402543 前端页面.跳转 http://www.cnblogs.com/ZHOULR/ 李家鹏 0 ...

  10. url 地址含参数较多如何拼接

    url 地址拼接是经常会遇到的问题.所以必须要掌握这个技术 1.合并参数对象,循环出来. var commonParams = { g_tk: 1928093487, inCharset: 'utf- ...