扩展中国剩余定理（扩展CRT）详解

今天在$xsy$上翻题翻到了一道扩展CRT的题，就顺便重温了下（扩展CRT模板也在里面）

中国剩余定理是用于求一个最小的$x$，满足$x\equiv c_i \pmod{m_i}$。

正常的$CRT$有一个微小的要求，就是$\forall i,j (m_i,m_j)=1$。

在某些情况下，这个式子无法被满足，这个时候就要用扩展$CRT$来求解了。

我们先假设我们只有两条方程要被求解，它们分别是：

$\begin{cases} x\equiv c_1 \pmod{m_1}\\x\equiv c_2 \pmod{m_2}\end{cases}$

我们考虑将同余去掉，就变成了：

$\begin{cases} x= c_1+m_1k_1\\x= c_2+m_2k_2\end{cases}$

联立一波，得：

$c_1+m_1k_1=c_2+m_2k_2$

$m_1k_1=(c_2-c_1)+m_2k_2$

若该方程存在解，则有$(m1,m2)|(c_2-c_1)$，否则无解

下面令$d=(m1,m2)$。

我们对等式两边全部除以$d$，得：

$\dfrac{m_1}{d}k_1=\dfrac{c_2-c_1}{d}+\dfrac{m_2}{d}k_2$

经过简单变式，得：

$\dfrac{m_1}{d}k_1\equiv \dfrac{c_2-c_1}{d} \pmod{\dfrac{m_2}{d}}$

没错，我们成功消掉了$k_2$

我们将$\dfrac{m_1}{d}$移项到等式右侧，得：

$k_1 \equiv inv(\dfrac{m1}{d},\dfrac{m_2}{d})\times \dfrac{c_2-c_1}{d} \pmod{\dfrac{m_2}{d}}$

其中$inv(x,y)$表示模$y意$义下$x$的乘法逆元

重新将该式子变回等式，得：

$k_1 = inv(\dfrac{m1}{d},\dfrac{m_2}{d})\times \dfrac{c_2-c_1}{d} + y\dfrac{m_2}{d}$

该式子已经化简到尽了，考虑重新代入回最初的式子。

将$k_1$代入$x=c_1+m_1k$中，得：

$x\equiv inv(\dfrac{m1}{d},\dfrac{m_2}{d})\times \dfrac{c_2-c_1}{d}\times m1 +c_1 \pmod{\dfrac{m_1m_2}{d}}$

至此，求两条式子的扩展$CRT$已经讲完了

如果方程有多条怎么办：我们做$n-1$次的两条式子的$CRT$合并就可以了。