B - Moodular Arithmetic

题目大意:题意:告诉你p和k,其中(0<=k<=p-1),x属于{0,1,2,3,....,p-1},f函数要满足f(k*x%p)=k*f(x)%p,f(x)的范围必须在[0.p-1]内,问这样的f函数有多少个。

思路:数学题不会写啊啊啊啊。。 一般这种题和费马小定理有关系,寻找循环节。

我们可以发现当k = 0 是答案为 p ^ (p - 1)

k = 1 时答案为p ^ p

否则

首先我们知道f(0) = 0;

我们到最小的 r 使得 k ^ r % p == 1。

那么f(x) ==  k ^ r * f(x)  == k ^ (r - 1) * f(k * x % p) == k ^ (r - 2) * f(k ^ 2 * x % p) ......... ==  f(k ^ r * x % p) == f(x % p) == f(x)

所以我们可以知道我们挑选了一个f(x)的值之后,我们就能确定 r 个函数的值。

所以我们只要挑(p - 1) / r 个值就能确定全部函数, 因为 k ^ (p - 1) % p == 1    k ^ r % p == 1

所以r一定能整除(p - 1)。 所以答案就是 p ^ ((p - 1) / r);

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. #define LL long long
  3. #define fi first
  4. #define se second
  5. #define mk make_pair
  6. #define pii pair<int,int>
  7. #define piii pair<int, pair<int,int> >
  8.  
  9. using namespace std;
  10.  
  11. const int N = 2e5 + ;
  12. const int M = + ;
  13. const int inf = 0x3f3f3f3f;
  14. const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
  15. const int mod = 1e9 + ;
  16. const double eps = 1e-;
  17.  
  18. LL fastPow(LL a, LL b) {
  19. LL ans = ;
  20. while(b) {
  21. if(b & ) ans = ans * a % mod;
  22. a = a * a % mod; b >>= ;
  23. }
  24. return ans;
  25. }
  26.  
  27. LL p, k;
  28. int main() {
  29.  
  30. scanf("%lld%lld", &p, &k);
  31. if(k == ) {
  32. printf("%lld\n", fastPow(p, p - ));
  33. } else if(k == ) {
  34. printf("%lld\n", fastPow(p, p));
  35. } else {
  36. int m = ;
  37. for(LL j = k; j != ; j = j * k % p) {
  38. m++;
  39. }
  40. printf("%lld\n", fastPow(p, (p - ) / m));
  41. }
  42. return ;
  43. }
  44. /*
  45. */

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