$\frac{\pi}{\sin p\pi}$

1.把 $f(x)=\cos px$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上展开为 Fourier 级数.

\[\cos px=\frac{\sin p\pi}{\pi}(\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2p}{p^2-n^2}\cos nx).\]

取 $x=0$, 则有

\[\frac{\pi}{\sin p\pi}=\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n2p}{p^2-n^2}.\]

2.计算积分 $\int_0^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x}\mathrm{d}x$  ($0<p<1$).

$$\int_0^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{\sin p\pi}    (0<p<1).$$

3.$\Gamma$ 函数的余元公式.

对任意的 $p\in (0,1)$, 有 $$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}.$$