300. Longest Increasing Subsequence_算法有误

300. Longest Increasing Subsequence

300. Longest Increasing Subsequence

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.
 
Example:
 
Input: [,,,,,,,]
Output:
Explanation: The longest increasing subsequence is [,,,], therefore the length is . 
 
Note:
 
    There may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.
    Your algorithm should run in O(n2) complexity.
 
Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

https://www.felix021.com/blog/read.php?entryid=1587&page=3&part=1　　感谢作者！

标题：最长递增子序列 O(NlogN)算法
出处：Blog of Felix021
时间：Wed, 13 May 2009 04:15:10 +0000
作者：felix021
地址：https://www.felix021.com/blog/read.php?1587
 
内容：
今天回顾WOJ1398，发现了这个当时没有理解透彻的算法。
看了好久好久，现在终于想明白了。
试着把它写下来，让自己更明白。
 
最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。
 
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
 
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
 
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
 
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
 
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
 
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
 
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
 
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
 
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
 
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
 
于是我们知道了LIS的长度为5。
 
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
 
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！
 
代码如下:

 //在非递减序列 arr[s..e]（闭区间）上二分查找第一个大于等于key的位置，如果都小于key，就返回e+1
 int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key)
 {
     int mid;
     if (arr[e] <= key)
         return e + ;
     while (s < e)
     {
         mid = s + (e - s) / ;
         if (arr[mid] <= key)
             s = mid + ;
         else
             e = mid;
     }
     return s;
 }
 
 int LIS(int d[], int n)
 {
     int i = , len = , *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + ));
     end[] = d[]; //初始化：长度为1的LIS末尾为d[0]
     for (i = ; i < n; i++)
     {
         int pos = upper_bound(end, , len, d[i]); //找到插入位置
         end[pos] = d[i];
         if (len < pos) //按需要更新LIS长度
             len = pos;
     }
     return len;
 } 

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