【模板】埃拉托色尼筛法 && 欧拉筛法 && 积性函数
埃拉托色尼筛法
朴素算法
- 1 vis[1]=1;
- 2 for (int i=2;i<=n;i++)
- 3 if (!vis[i])
- 4 {
- 5 pri[++tot]=i;
- 6 for (int j=i*2;j<=n;j+=i)
- 7 vis[j]=1;
- 8 }
欧拉筛法
朴素算法
- vis[]=;
- for (int i=;i<=n;i++)
- {
- if (!vis[i])
- pri[++tot]=i;
- for (int j=;j<=tot;j++)
- {
- if (i*pri[j]>n) break;
- vis[i*pri[j]]=;
- if (i%pri[j]==) break;
- }
- }
以luoguP3383为例
标程:
- #include<bits/stdc++.h>
- using namespace std;
- int prime[],mark[];
- int bj,ph[];
- void oula(int p){
- ph[]=;
- for(int i=;i<=p;i++) {
- if(!mark[i]){
- prime[++bj] = i;
- ph[i]=i-;
- }
- for(int j=;j<=bj;j++){
- if(i*prime[j]>p) break;
- mark[i*prime[j]]=;
- if(i%prime[j]==) {
- ph[i*prime[j]]=ph[i]*prime[j];
- break;
- }
- else ph[i*prime[j]]=ph[i]*ph[prime[j]];
- }
- }
- }
- int n,m1;
- int main(){
- cin>>n>>m1;
- oula(n);
- for(int i=;i<=m1;i++) {
- int m;
- cin>>m;
- if(m-!=ph[m]) cout<<"No"<<endl;
- else cout<<"Yes"<<endl;
- }
- return ;
- }
以下内容为转载于https://blog.csdn.net/y20070316/article/details/51729812
二. 欧拉筛法解积性函数
1. 方法
步骤Ⅰ:证明积性
步骤Ⅱ:考虑下面三方面的实现:
①素数m,求f(m)
②m和比m的最小素因子小的素数n,求f(n*m)
③m和m的最小素因子n:求f(n*m)2. 例子
(1)欧拉函数
题目:PC 1499
证明:设[Math Processing Error]n=∏aipi,m=∏biqi,且[Math Processing Error]gcd(m,n)=1
[Math Processing Error]∴ϕ(mn)=mn∏(1−1ai)∏(1−1bi)=[n∗∏(1−1ai)]∗[m∗(∏(1−1bi)]=ϕ(n)ϕ(m)写法:
①素数m:[Math Processing Error]ϕ(m)=m−1
②m和比m的最小素因子小的素数n:
[Math Processing Error]ϕ(m∗n)=ϕ(m)∗phi(n)
③m和m的最小素因子n:[Math Processing Error]ϕ(m∗n)=ϕ(m)∗n
- phi[]=;
- for (int i=;i<=n;i++)
- {
- if (!phi[i])
- {
- pri[++tot]=i;
- phi[i]=i-;
- }
- for (int j=;j<=tot;j++)
- {
- if (i*pri[j]>n) break;
- if (i%pri[j]!=)
- phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
- else
- {
- phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
- break;
- }
- }
- }
(2)莫比乌斯函数
题目:PC 1492
积性证明:
设[Math Processing Error]n=∏aipi,m=∏biqi,且[Math Processing Error]gcd(m,n)=1
①若[Math Processing Error]∃pi>1或[Math Processing Error]qi>1,则[Math Processing Error]μ(n∗m)=μ(n)∗μ(m)=0
②否则,[Math Processing Error]μ(n∗m)=(−1)n+m=μ(n)∗μ(m)
综上,[Math Processing Error]μ(n∗m)=μ(n)∗μ(m)写法:
①素数m:[Math Processing Error]μ(m)=−1
②m和比m的最小素因子小的素数n:
[Math Processing Error]μ(m∗n)=μ(m)∗μ(n)
③m和m的最小素因子n:[Math Processing Error]μ(n∗m)=0
- mu[]=vis[]=;
- for (int i=;i<=n;i++)
- {
- if (!vis[i])
- {
- mu[i]=-;
- pri[++tot]=i;
- }
- for (int j=;j<=tot;j++)
- {
- if (i*pri[j]>n) break;
- vis[i*pri[j]]=;
- if (i%pri[j]!=)
- mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];
- else
- {
- mu[i*pri[j]]=;
- break;
- }
- }
- }
(3) 乘法逆元[Math Processing Error]inv(n,i)([Math Processing Error]n不变)
题目:PC 1494
积性证明:
[Math Processing Error]∵a∗inv[a]≡1,b∗inv[b]≡1(modn)
[Math Processing Error]∴(a∗b)∗(inv[a]∗inv[b])≡1(modn)
[Math Processing Error]∴inv[a∗b]≡inv[a]∗inv[b]写法:
①素数m:根据费马小定理,[Math Processing Error]inv[m]≡Pow(m,n−2)
②m和比m的最小素因子小的素数n:[Math Processing Error]inv[m∗n]=inv[m]∗inv[n]
③m和m的最小质因子n:
根据完全积性,[Math Processing Error]inv[m∗n]=inv[m]∗inv[n]注意,第①步是[Math Processing Error]O(n)的。这是因为:
[Math Processing Error]O(π(n)logn)=O(nlnnlogn)=O(nlognlogn)=O(n)。
- vis[]=inv[]=;
- for (int i=;i<n;i++)
- {
- if (!vis[i])
- {
- pri[++tot]=i;
- inv[i]=Pow(i,n-);
- }
- for (int j=;j<=tot;j++)
- {
- if (i*pri[j]>n) break;
- vis[i*pri[j]]=;
- inv[i*pri[j]]=inv[i]*inv[pri[j]];
- if (i%pri[j]==) break;
- }
- }
其实可以直接有一种递推的方法:
①当n=1时,inv[n]=1
②假设当前对于k,已经求出了inv[1],inv[2],…,inv[k-1],当前要求出inv[k]。
令[Math Processing Error]a=nmodk,[Math Processing Error]b=n/k
[Math Processing Error]∴n=a+b∗k
[Math Processing Error]∴a=n−b∗k
又[Math Processing Error]∵inv[a]∗a≡inv[a]∗(n−b∗k)≡inv[a]∗−b∗k≡1
[Math Processing Error]∴inv[k]=−b∗inv[a](4)最大公约数[Math Processing Error]gcd(a,b)(b一定)
题目:PC 1495
证明:略
写法:求[Math Processing Error]g(i)
①素数m:[Math Processing Error]g(m)=gcd(m,b);
②m和比m的最小素因子小的素数n:
[Math Processing Error]g(m∗n)=g(m)∗g(n);
③m和m的最小质因子n:
设[Math Processing Error]ek(m)表示n的最大的幂,满足[Math Processing Error]ek(m)|m
若[Math Processing Error](ek(m)∗n)|b,则[Math Processing Error]g(m∗n)=g(m)∗n
若不满足,则[Math Processing Error]g(m∗n)=g(m);[Math Processing Error]ek(i)不是积性函数,但也可以放在欧拉筛法里面求:
①素数m:[Math Processing Error]ek(m)=m
②m和比m的最小素因子小的素数n:[Math Processing Error]ek(m∗n)=n
③m和m的最小质因子n:[Math Processing Error]ek(m∗n)=ek(m)∗n(5)正因子数目[Math Processing Error]d(n)
题目:PC 1496
证明:
设[Math Processing Error]m=∏aipi,[Math Processing Error]n=∏biqi且[Math Processing Error]m,n互质
[Math Processing Error]∴d(mn)=d(∏aipi∏biqi)=∏(pi−1)∏(qi−1)=d(m)∗d(n)求法:求[Math Processing Error]d(i)
①素数m:[Math Processing Error]d(m)=2
②m和比m的最小素因子小的素数n:[Math Processing Error]d(m∗n)=d(m)∗d(n)
③m和m的最小质因子n:
[Math Processing Error]d(m∗n)=d(m)/(e(m)+1)∗(e(m∗m)+1),[Math Processing Error]e(m)表示最大的满足[Math Processing Error]ne(m)|m的值。求[Math Processing Error]e(i):
①素数m:[Math Processing Error]e(m)=1
②m和比m的最小素因子小的素数n:[Math Processing Error]e(m∗n)=1
③m和m的最小质因子n:[Math Processing Error]e(m∗n)=e(m)+1(6)正因子之和[Math Processing Error]s(n)
题目:PC 1497
证明:
设[Math Processing Error]m=∏aipi,[Math Processing Error]n=∏biqi且[Math Processing Error]m,n互质,
则[Math Processing Error]s(m∗n)=∏j(∑j=0piaij)∗∏j(∑j=0qibij)=s(m)s(n)写法:
①素数m:[Math Processing Error]s(m)=m+1
②m和比m的最小素因子小的素数n:[Math Processing Error]s(m∗n)=s(m)∗s(n)
③m和最小质因数n:
[Math Processing Error]s(m∗n)=s(∏aipi∗ne(i)+1)=∏(∑j=0piaij)∗(∑j=0e(i)+1nj)=s(m)∗(∑j=0e(i)+1nj)(∑j=0e(i)nj)=s(m)∗ne(i)+2−1n−1∗n−1ne(i)+1−1=s(m)∗ne(i)+2−1ne(i)+1−1记[Math Processing Error]pe(m)=ne(i)+1,则可以在欧拉筛法的同时求出。
(8)另一些显而易见的积性函数
1(n):1(n)=1,完全积性
Id(n):Id(n)=n,完全积性
Idk(n):Idk(n)=n^k,完全积性3. 实现技巧
(1)节省空间
很多时候,有些数组A可以当作另外一些数组B的功能拓展,这时候就可以把B省略掉。
例如,在求欧拉函数的时候,我们可以用phi来取代vis数组。因为没有求出来的phi(i)也就意味着i是素数。
又例如,在求莫比乌斯函数的时候,我们可以用mu来取代vis数组。理由同上。不过要把mu数组的初始值设为-1。
(2)模板
变量:
- 布尔数组vis[N]
- 素数表pri[N],tot
- 积性函数
模板:
- void solve(void)
- {
- vis[]=...=; //赋初始值
- for (int i=;i<=n;i++)
- {
- if (!vis[i])
- {
- ... //素数的积性函数值
- pri[++tot]=i; //加入素数表
- }
- for (int j=;j<=tot;j++)
- {
- if (i*pri[j]>n) break;
- vis[i*pri[j]]=;
- ... //公共部分
- if (i%pri[j]!=)
- {
- ... //m和比m的最小素因子小的素数n的处理
- }
- else
- {
- ... //m和m的最小素因子n的处理
- break;
- }
- }
- }
- }
4. 变式
(1)“加性”函数
例题:PC 1498
有些涉及到素因子的函数,也可以使用欧拉筛法求解。很多时候可以辅助积性函数的求解,上面的例子中的[Math Processing Error]e函数,[Math Processing Error]ek函数就是所谓的“加性”函数。(2)[Math Processing Error]A2
例题:XSY 1001
对于[Math Processing Error]A2的积性函数,关键求出[Math Processing Error]A的积性函数,然后顺便求解[Math Processing Error]A2的积性函数。(3)[Math Processing Error](A+1)(A−1)
例题:XSY 1001
通常一个乘积的形式,也可以通过互质的关系,转化为有关积性函数的问题。
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