理解ROC和AUC

分类器各种各样，如何评价这些分类器的性能呢？（这里只考虑二元分类器，分类器的输出为概率值）

方法一：概率定义法

从正样本中随机选取元素记为x，从负样本中随机选取元素记为y，x的置信度大于y的概率

计算方法可以描述为

s=0
for x in 正例:
  s+=1/正例总数×置信度小于x的负例所占比例
return s

概率是用来定义问题的利器，如基尼系数。

方法二：正样本排名法

对全部样本按照置信度从高到低进行排序，排名依次记做1，2，3......全部正例的排名之和记为R，R越小表明分类器越准。

方法三：复杂定义法

我提出一种评判指标：点评测法。

给定一个阈值，就可以将分类器的概率值确定化为0、1值。现在只考虑你认为值为1的样本，这些样本占“实际假”样本的比例越小越好，这些样本占“实际为真”的样本的比例越大越好，于是可以得到二元组（这些样本占“实际假”的比例，这些样本占“实际真”的比例）。把这个二元组画在平面直角坐标系中，得到一个点，这个点离（0，1）越近越好！

上面说的是给定了一个阈值，大多数时候，阈值是不好确定的，那就采用“动态阈值”，让阈值从0到1变化就会得到一个点序列，也就是一条曲线。这条曲线就是传说中的ROC。

ROC是一种折线，它是一种评价二值分类器的性能指标

AUC是求折线下面的面积，折线不一定是ROC折线

00：我说0，实际也为0

01：我说0，实际为1

10：我说1，实际为0

11：我说1，实际为1

那么，x坐标可以表示为10/(00+10)，y坐标可以表示为11/(01+11)

也就是说，x坐标可以表示为10/x0，y坐标表示为11/x1

也就是说，只看“我说1”的那一部分，该部分在全部“实际0”的部分所占比例为x轴，该部分在“实际1”部分所占比例为y轴。

描述起来多么复杂！但是上面三种方法得到的结果是一模一样的，虽然定义上差很多，但最终说的是一回事！

AUC的直观认识

• AUC对于置信度不敏感，它只关注名次而不关注具体置信度
• 从AUC角度看，好的分类器就是一个好的排序器。分类器在某种程度上就是排序器。
• AUC对于样本正负样本不均衡的现象完全不敏感，从方法一定义上可以看出来。

import sklearn.metrics as metrics
import numpy as np

def roc(y_true, y_mine):
    a = [(y_mine[i], y_true[i]) for i in range(len(y_true))]
    a = sorted(a, key=lambda x: -x[0])
    thresh = sorted(list(set([0, 1] + [i[0] for i in a])), key=lambda x: -x)
    cnt = [np.count_nonzero(y_true == 0), np.count_nonzero(y_true == 1), 0, 0]
    x = []
    y = []
    j = 0
    for i in thresh:
        while j < len(a) and a[j][0] >= i:
            if a[j][1]:
                cnt[0b11] += 1
                cnt[0b01] -= 1
            else:
                cnt[0b10] += 1
                cnt[0b00] -= 1
            j += 1
        x.append(cnt[0b10] / (cnt[0b00] + cnt[0b10]))
        y.append(cnt[0b11] / (cnt[0b11] + cnt[0b01]))
    return x, y, thresh

def auc(x, y):
    a = sorted([(x[i], y[i]) for i in range(len(x))], key=lambda x: x[0])
    area = 0
    for i in range(1, len(a)):
        area += (a[i - 1][1] + a[i][1]) * (a[i][0] - a[i - 1][0]) / 2
    return area

def auc2(y_mine, y_true):
    """
    auc的物理意义在于：随机正样本比随机负样本得分高的概率
    基于这种直观的思路可以更快速的计算auc
    :param y_mine:
    :param y_true:
    :return:
    """
    a = sorted([(y_mine[i], y_true[i]) for i in range(len(y_mine))], key=lambda x: -x[0])
    s = 0
    true_count = len([1 for i in y_true if i])
    false_count = len(y_true) - true_count
    total_false = false_count
    for i in a:
        if i[1]:
            s += 1 / true_count * false_count / total_false
        else:
            false_count -= 1
    return s

y_mine = np.random.rand(10)
y_true = np.random.randint(0, 2, 10)
x, y, t = roc(y_true, y_mine)
print(auc(x, y))
print(metrics.auc(x, y))
print(auc2(y_mine, y_true))

其实，auc还可以推导一下得到更简单一点的公式：

def auc2(y_mine, y_true):
    """
    auc的物理意义在于：随机正样本比随机负样本得分高的概率
    基于这种直观的思路可以更快速的计算auc
    本函数只适用于计算得分各不相同的样本，如果存在并列情况，此函数结果错误
    :param y_mine:
    :param y_true:
    :return:
    """
    a = sorted(zip(y_mine, y_true), key=lambda x: -x[0])
    T = np.count_nonzero(y_true)
    F = len(y_true) - T
    R = sum(i + 1 for i in range(len(a)) if a[i][1] == 1)
    return 1 + (T + 1) / (2 * F) - R / (T * F)

知乎上大神的答案，很高级。

从AUC到真实类别（label）？
最开始思考这个问题是做一个网上的比赛，二分类问题，每次提交一组预测系统会计算出一个AUC值，因为这个比赛只有5000样本，并且系统显示的AUC值有小数点后面7、8位，所以我想是否可以通过可能通过AUC值计算出样本的真实label来。也许并没有实际价值，但是问题本身是很有趣的，像是在破解密码。
一个naive但是可行但是效率很低的办法， 就是每次生成一组预测值，里面只有一个样本预测为1，其余都是0，然后提交预测计算AUC，然后根据这个AUC来判断此样本的label，但是这样效率太低了，5000个样本，需要5000次提交。
思考了很久，最后发现可以通过AUC的另一个计算公式入手。也就是第一部分说的U statistic。

3.1 根据一个AUC值计算样本中0,1的数目
根据AUC与U statistic的联系，我们可以用下面的代码计算AUC：
auc＝(sum(rank(c(p(label==1),p(label==0)))[1:n1])-n1*(n1+1)/2)/n0/n1
上面label表示样本的真实类别，p表示预测为1的概率，rank是R的内置函数，n0表示真实数据中0的数目，n1表示1的数目，n0+n1=n表示数据所有样本数目，根据这个简单的一行代码，我们可以不用任何包来计算AUC。
上面公式很有趣，n0，n1还有label都是固定的，p不同导致auc不一致，观察sum里面，可以发现这个sum本质是什么？就是计算pred里面对应的真实label为1的那些预测值的rank的和。
继续使用第一部分的例子，5个样本的预测值的rank：
rank(c(0.5,0.6,0.55,0.4,0.7))[1] 2 4 3 1 5
其中真实为1的样本（1,2,5）的对应rank是2,4,5，这三个rank值的和2+4+5=11，n0=2，n1=3，于是根据上面的AUC公式：(11-3*(3+1)/2)/2/3=5/6=0.83333，这个结果与我们在第一部分用AUC定义算的值完全一样。
所以说，真正影响auc的，就是预测值里面对本来是1的样本的预测的rank的和。
要破解真实label，第一部要做的是找到样本里面0和1的数目，也就是n0和n1等于多少。这个问题不复杂。要知道相同预测值的rank也一致，就是说如果所有样本的预测只取0或者1，那对应的rank只有两个unique数值。
再观察AUC公式里面的sum：
sum(rank(c(pred(label==1),pred(label==0)))[1:n1])
这个sum是n1个数值的和，这n1个数值，当我们的pred只有两个不同取值的时候，仅包括两个unique的数值。继续用上面例子，一共有5个样本，我们生成第一组预测p如下：
> p＝c(1,1,1,0,0)> rank(p)[1] 4.0 4.0 4.0 1.5 1.5

可见p的rank只有两个不同取值，1.5和4，这是因为预测概率p也只有两个不同取值。
然后我们还知道sum是n1个数的sum，我们不知道的是这n1个数，里面有几个1.5，几个4，假设其中有k1个1.5，k2个4，可以列出一个方程：
k1+k2=n1
k1*1.5+k2*4=sum(rank(c(p(label==1),p(label==0)))[1:n1])=auc*n0*n1+n1*(1+n1)/2
所以最终得到下面的方程组：
k1+k2=n1
k1*1.5+k2*4=0.833333*n0*n1+n1*(1+n1)/2
n0+n1=5
其中k1,k2和n1未知，两个方程，3个未知数，属于不定方程组，但是要知道k1，k2,和n1都是整数，并且有取值范围，要借出来很简单，写一个for 循环，1秒中就可以找到一组满足3个方程多k1，k2以及n1。
如果我们变更p，比如p＝c(rep(1,m),rep(0,5-m)),通过一样的算法，可以计算出来前m个样本中1的数量。
通过这个算法，我可以算出来这个贷款预测比赛测试数据中有509个1和4491个0。
做到这里，差点就放弃了，但是后来突然又有了灵感，找到了下面的算法：
3.2 根据AUC破解样本的真实label
这里就省略思考过程了， 直接来破解算法：
对于一组总数为n的测试样本，我们先来计算
m=floor(log(n,base=2))+1
这个m表示我们通过两次auc计算可以计算出至少多少个样本的真实label，比如n=5000，那么m=13
也就是说通过我们两次提交，可以最少得到13个样本的label。这13个样本是可以自己随便指定的，比如我们对前13个样本感兴趣，那么具体做法如下：
fix1=2^c(0:12)fix2=c(fix1[-1],fix1[1])unfixed=setdiff(1:5000,fix1)p1=c(fix1,unfixed)#第1组预测p2=c(fix2,unfixed)#第2组预测
使用上面的两组预测p1和p2分别计算AUC，得到auc1和auc2，根据上面给出的auc算法：
sum(rank(c(p1(label==1),p1(label==0)))[1:n1])-n1*(1+n1)/2=auc1*n0*n1sum(rank(c(p2(label==1),p2(label==0)))[1:n1])-n1*(1+n1)/2=auc2*n0*n1
两个公式相减：
sum(rank(c(p1(label==1),p1(label==0)))[1:n1])-sum(rank(c(p2(label==1),p2(label==0)))[1:n1])-n1*(1+n1)/2=(auc1-auc2)*n0*n1
得到的这个等式里，我们已经通过上面的方法找到了n0和n1，auc1和auc2是已知，所以等式右面值可以算出，那么等式左面呢，因为我们两个预测结果p1和p2只有前三个点的预测之不一样，其余点的预测值一样，rank也一样，那么等式左面的两个sum的差，其实只由前13个样本的真实label决定，具体来说：
sum1-sum2=y1*(fix1[1]-fix2[1])+y2*(fix1[2]-fix2[2])+...+y13*(fix1[13]-fix2[13])=y1*(-1)+y2*(-2)+...+y12*(-2048)+y13*(4095)

上面的方程里面yi代表样本i的真实label，有且只有唯一解，以为这个方程本质上就是10进制数用2进制表达。所以通过两次auc计算，我们可以找到13个点的真实标签。比如对上面提到的贷款预测比赛，选定前13个label，auc1=0.50220853，auc2= 0.5017588，然后就可以算出来前13个test样本只有第三个样本是0，其余都是1。
但是13并不是上限，我有一些更好的结果，比较复杂，在这就不展开说了。

参考资料

https://www.zhihu.com/question/39840928