BZOJ5252 八省联考2018林克卡特树(动态规划+wqs二分)
假设已经linkcut完了树,答案显然是树的直径。那么考虑这条直径在原树中是怎样的。容易想到其是由原树中恰好k+1条点不相交的链(包括单个点)拼接而成的。因为这样的链显然可以通过linkcut拼接起来,而若选择不超过k条链则可能有链不得不被cut拆开,即使不会被拆开也可以通过选择单点来达到恰好k+1条(下设k=k+1)。
那么问题变为在树上选择k条点不相交的链使边权和最大。最简单的dp就是设f[i][j]为i子树中选j条链的最大权值,且用一维012状态记录i这个点在子树中的度数,转移类似于一个树形背包。复杂度看起来是O(nk^2),实际上似乎是O(nk),可以拿60分。
然而再往上即使复杂度去一个k也没有更高的分了。这暗示我们可以做到与k无关的复杂度。
考虑去掉k的限制。这样仍然是一个dp,只是去掉了一维,复杂度变为O(n)。注意一些细节,比如说仅选择单点看做度数为1,按照210的顺序更新等等。
k怎么办?考虑wqs二分,也叫凸优化、带权二分啥的。我们把选择x条链的代价设为x*cost。可以发现,如果把cost设成-inf,那么会选择n条链;如果设成inf,会选择0条链;而随着cost从-inf增加到inf,最优链数感觉上应该是单调不增的。那么我们可以二分cost,使得链数最终在k处停止,这个时候肯定求得了选k条链的最优方案,于是再补回cost就可以求得最优解了。至于这个东西是不是单调不增的呢?貌似是的。为什么呢?大胆猜想不用证明感觉一个东西便宜的时候都不买,涨价了更没有理由买啊。证明我也不懂。
dp的时候记录一下最优的时候至少需要选择几条链。因为cost可能与一段链数对应,有可能无法刚好二分到选了k条链,不过这说明他们在该情况下都能作为最优解,则他们的加权(x*cost)答案相同。那么只要能够二分到这种加权答案就可以算出来k条链的答案了。于是保留选择的链数最接近k而又不超过k的答案,最终答案加上k*cost。
还有一个细节,cost只需要在整数范围内二分就可以了。具体还是用坐标系来理解吧,链数对应的实际答案构成一个凸壳,用斜率为cost的直线去切这个凸壳,第一个碰上的点就是我们找到的答案。因为其中都是整点,用整数的斜率去切就可以了。但其实我也不知道我在说啥。
“题目并不难。”
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
int x=,f=;char c=getchar();
while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}
while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
return x*f;
}
#define N 300010
#define ll long long
#define inf 300000000010
#define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
int n,k,p[N],t=;
ll ans;
struct data2
{
ll x;int cnt;
bool operator >(const data2&a) const
{
return x>a.x||x==a.x&&cnt<a.cnt;
}
data2 operator +(const data2&a) const
{
return (data2){x+a.x,cnt+a.cnt};
}
data2 operator -(const data2&a) const
{
return (data2){x-a.x,cnt-a.cnt};
}
}f[N][];
struct data{int to,nxt,len;
}edge[N<<];
void addedge(int x,int y,int z){t++;edge[t].to=y,edge[t].nxt=p[x],edge[t].len=z,p[x]=t;}
void dfs(int k,int from,ll cost)
{
f[k][]=(data2){,};f[k][]=(data2){-cost,};f[k][]=(data2){-inf,};
for (int i=p[k];i;i=edge[i].nxt)
if (edge[i].to!=from)
{
int y=edge[i].to;
dfs(y,k,cost);
data2 w=max(f[y][],max(f[y][],f[y][]));
data2 u=f[y][]+(data2){edge[i].len+cost,-},v=f[y][]+(data2){edge[i].len,};
f[k][]=max(f[k][]+w,f[k][]+max(u,v));
u=f[y][]+(data2){edge[i].len,},v=f[y][]+(data2){edge[i].len-cost,};
f[k][]=max(f[k][]+w,f[k][]+max(u,v));
f[k][]=f[k][]+w;
} }
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("bzoj5252.in","r",stdin);
freopen("bzoj5252.out","w",stdout);
const char LL[]="%I64d";
#else
const char LL[]="%lld";
#endif
n=read(),k=read()+;
for (int i=;i<n;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
addedge(x,y,z),addedge(y,x,z);
}
ll l=-inf,r=inf;
while (l<=r)
{
ll mid=l+r>>;
dfs(,,mid);
if (max(f[][],max(f[][],f[][])).cnt<=k) ans=max(f[][],max(f[][],f[][])).x+k*mid,r=mid-;
else l=mid+;
}
cout<<ans;
return ;
}
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