BZOJ.1492.[NOI2007]货币兑换(DP 斜率优化 CDQ分治/Splay)

BZOJ

洛谷

如果某天能够赚钱，那么一定会在这天把手上的金券全卖掉。同样如果某天要买，一定会把所有钱花光。

那么令\(f_i\)表示到第\(i\)天所拥有的最多钱数（此时手上没有任何金券），可以选择什么都不干，\(f_i=f_{i-1}\)；也可以从之前的某一天\(j\)花\(f_j\)的钱买金券，在第\(i\)天全卖掉。用第\(j\)天的信息算一下买了多少\(A,B\)，就可以得到第\(i\)天卖了多少钱。

所以有\(f_i=\max\{f_{i-1},\ A_i\frac{f_jk_j}{A_jk_j+B_j}+B_i\frac{f_j}{A_jk_j+B_j}\}\)。

把后面那部分写成直线的形式：\(\frac{f_i}{B_i}-\frac{A_i}{B_i}*\frac{f_jk_j}{A_jk_j+B_j}=\frac{f_j}{A_jk_j+B_j}\)，令\(x_j=\frac{f_jk_j}{A_jk_j+B_j},\ y_j=\frac{f_j}{A_jk_j+B_j}\)，\(\frac{f_i}{B_i}-\frac{A_i}{B_i}x_j=y_j\)。要求用\(k=-\frac{A_i}{B_i}\)的直线去切\((x_j,y_j)\)使得截距最大，也就是维护上凸壳。

但\(x\)即每个决策点不是单调的，就需要平衡树/CDQ分治去维护凸包。

CDQ分治：

先将所有点按斜率\(k\)排序。

先处理完左区间询问，然后将左区间按横坐标\(x\)归并排好序。这样处理右区间询问的时候（现在只考虑当前左区间对整个右区间询问的影响，也就是要对左区间维护上凸壳），左区间的\(x\)有序就可以直接用单调栈把上凸壳维护出来了。

而右区间已经按斜率\(k\)排好序了，所以可以\(O(n)\)在上凸壳中得到最优解（实现当前整个左区间对右区间的转移）。

当递归到\(l=r\)，就说明已经处理完该点\(l\)之前的点对\(l\)的影响了，就可以直接得到\(f_l\)的值（顺便要和\(f_{l-1}\)取\(\max\)）并更新\(l\)这个决策点的信息了。

平衡树：

节点按\(x\)排序。每个节点维护与左边点和右边点的斜率\(lk,rk\)。（树上的节点都是凸包上的，凸包内部的就不要了）

对于新的决策点\(x\)，直接先插入到平衡树中。

然后将\(x\)转到根。先找左边第一个能与\(x\)构成凸包的点：若当前点\(y\)与前一个点的斜率\(lk\gt k(x,y)\)，那么如果\(y\)右边还有在凸包上的点，就继续向右找（没有就结束）。否则若\(lk\lt k(x,y)\)，则应继续往左找。

找右边第一个能与\(x\)构成凸包的点同理。

最后，如果\(x\)就在凸包里面，即\(lk(x)<rk(x)\)，就要把\(x\)从平衡树中删掉。

查询就根据斜率直接查询最优决策点了。

复杂度都是\(O(n\log n)\)。

---

CDQ分治：

//12648kb	792ms
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define eps 1e-9
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
const double INF=1e17;

double f[N],read();
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Node
{
	int id;
	double A,B,k,Rate,x,y;
	inline void Init(int i)
	{
		id=i,A=read(),B=read(),k=-A/B,Rate=read();
	}
	bool operator <(const Node &x)const
	{
		return k<x.k;
	}
}q[N];

inline double read()
{
	double x=0,y=0.1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c)&&c!='.';c=gc());
	for(;isdigit(c);x=x*10+c-'0',c=gc());
	for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=(c-'0')*y,y*=0.1,c=gc());
	return x;
}
inline double GetK(int i,int j)
{
	return fabs(q[i].x-q[j].x)<=eps?(q[i].y<q[j].y?-INF:INF):(q[i].y-q[j].y)/(q[i].x-q[j].x);
//	return fabs(q[i].x-q[j].x)<=eps?INF:(q[i].y-q[j].y)/(q[i].x-q[j].x);
}
void CDQ(int l,int r)
{
	static int sk[N];
	static Node tmp[N];
	if(l==r)
	{
		f[l]=std::max(f[l],f[l-1]);
		q[l].y=f[l]/(q[l].A*q[l].Rate+q[l].B), q[l].x=q[l].y*q[l].Rate;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1,p1=l,p2=mid+1;
	for(int i=l; i<=r; ++i)//将前mid个询问放在左边 后mid个放在右边
		q[i].id<=mid?tmp[p1++]=q[i]:tmp[p2++]=q[i];
	for(int i=l; i<=r; ++i) q[i]=tmp[i];
	CDQ(l,mid);

	int top=0;
	for(int i=l; i<=mid; ++i)
	{
		while(top>=2 && GetK(i,sk[top])>GetK(sk[top],sk[top-1])) --top;
		sk[++top]=i;
	}
	for(int i=mid+1; i<=r; ++i)
	{
		while(top>=2 && GetK(sk[top],sk[top-1])<q[i].k) --top;
		int j=sk[top];
		f[q[i].id]=std::max(f[q[i].id],q[i].A*q[j].x+q[i].B*q[j].y);
	}
	CDQ(mid+1,r);

	p1=l,p2=mid+1; int p=l;//处理完整个区间后按x排序
	while(p1<=mid && p2<=r) q[p1].x<=q[p2].x?tmp[p++]=q[p1++]:tmp[p++]=q[p2++];
	while(p1<=mid) tmp[p++]=q[p1++];
	while(p2<=r) tmp[p++]=q[p2++];
	for(int i=l; i<=r; ++i) q[i]=tmp[i];
}

int main()
{
	int n=read(); f[0]=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) q[i].Init(i);
	std::sort(q+1,q+1+n), CDQ(1,n);
	printf("%.3lf\n",f[n]);

	return 0;
}

---

Splay：（快好多啊）

//6196kb	340ms
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define eps 1e-9
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
const double INF=1ll<<60;

double f[N],X[N],Y[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline double read()
{
	double x=0,y=0.1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c)&&c!='.';c=gc());
	for(;isdigit(c);x=x*10+c-'0',c=gc());
	for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=(c-'0')*y,y*=0.1,c=gc());
	return x;
}
inline double GetK(int i,int j)
{
	return fabs(X[i]-X[j])<eps?INF:(Y[i]-Y[j])/(X[i]-X[j]);
}
struct SPLAY
{
	#define ls son[x][0]
	#define rs son[x][1]
	int root,tot,fa[N],son[N][2];
	double lk[N],rk[N];

	void Rotate(int x,int &k)
	{
		int a=fa[x],b=fa[a],l=son[a][1]==x,r=l^1;
		if(a==k) k=x;
		else son[b][son[b][1]==a]=x;
		fa[a]=x, fa[x]=b, fa[son[x][r]]=a, son[a][l]=son[x][r], son[x][r]=a;
	}
	void Splay(int x,int &k)
	{
		while(x!=k)
		{
			int a=fa[x];
			if(a!=k) son[a][1]==x^son[fa[a]][1]==a?Rotate(x,k):Rotate(a,k);
			Rotate(x,k);
		}
	}
	int Find(double k)
	{
		int x=root;
		while(x)
		{
			if(lk[x]>=k && rk[x]<=k) return x;
			if(lk[x]<k) x=son[x][0];
			else x=son[x][1];
		}
		return x;
	}
	int Pre(int x)
	{
		int y=son[x][0],res=y;
		while(y)
		{
			if(lk[y]>=GetK(x,y)) res=y, y=son[y][1];
			else y=son[y][0];
		}
		return res;
	}
	int Nxt(int x)
	{
		int y=son[x][1],res=y;
		while(y)
		{
			if(rk[y]<=GetK(x,y)) res=y, y=son[y][0];
			else y=son[y][1];
		}
		return res;
	}
	void Insert(int x,double xx)
	{
		int f=0,p=x; x=root;
		while(x) f=x, x=son[x][xx>X[x]];
		x=p, fa[x]=f, son[f][xx>X[f]]=x;
		Splay(x,root);
	}
	void Maintain(int x)
	{
		if(ls)
		{
			int y=Pre(x);
			Splay(y,ls), son[y][1]=0;
			lk[x]=rk[y]=GetK(x,y);
		}
		else lk[x]=INF;
		if(rs)
		{
			int y=Nxt(x);
			Splay(y,rs), son[y][0]=0;
			rk[x]=lk[y]=GetK(x,y);
		}
		else rk[x]=-INF;
		if(lk[x]<=rk[x])
		{
			int y=rs;
			fa[root=ls]=0, son[root][1]=y, fa[y]=root;
			rk[root]=lk[y]=GetK(root,y);
		}
	}
}T;

int main()
{
	int n=read(); f[0]=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		double A=read(),B=read(),Rate=read();
		int j=T.Find(-A/B);
		f[i]=std::max(f[i-1],A*X[j]+B*Y[j]);
		Y[i]=f[i]/(A*Rate+B), X[i]=Y[i]*Rate;
		T.Insert(i,X[i]), T.Maintain(i);
	}
	printf("%.3lf\n",f[n]);

	return 0;
}