算法篇——Cantor的数表
来源:《算法竞赛入门经典》例题5.4.1
题目:现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的: 第一项是1/1,第二项是是1/2,第三项是2/1,第四项是3/1,第五项是2/2,……。输入n,输出第n项。
样例输入:
3
14
7
12345
样例输出:
2/1
2/4
1/4
59/99
分析:
数表提示我们按照斜线分类。第1条斜线有1个数,第2条有2个数,第3条有3个数……第k条有k个数。这样,前k条斜线一共有S=1+2+3+……+k个数。
第n项在哪条斜线上呢?只要找到一个最小的k,使得S≥n,那么第n项就是第k条斜线上倒数第S-n+1个数(最后一个元素是倒数第1个元素,而不是倒数第0个元素)。
而k的奇偶决定着第k条斜线上数的顺序:若k是奇数,第k条斜线上倒数第i个元素是i/(k+1-i);若k是偶数,第k条斜线上倒数第i个元素是(k+1-i)/i。
源码:
#include<stdio.h> int main()
{
int n,k,s; //前k挑斜线一共s个数
while(scanf("%d",&n) == )
{
k=;
s=;
while(s<n) //找到最小的k使得s>=n
{
k++;
s+=k;
}
if(k%==) //k的奇偶决定着斜线上数的顺序,n是第k条斜线上倒数第s-n+1个数
printf("%d/%d\n",s-n+,k+n-s); //若k是奇数,第k条斜线上倒数第i个元素是i/(k+1-i)
else
printf("%d/%d\n",k+n-s,s-n+); //若k是偶数,第k条斜线上倒数第i个元素是(k+1-i)/i
} return ;
}
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