数位dp——统计'1'的个数

　　今天去牛客网看了看 包含一 这道题，一开始没看清，以为它要统计 1~n 所有数中数字 '1' 出现的总次数，也就是说，若 n == 11，则 ans = 4；而按照题目的原意 ans 应该为 3。看错题意后还是挣扎了好久，具体的调试过程也不想回忆叙述了，先贴上按照我一开始理解的意思的代码吧，虽然没有题目让我测，但我和自己写的暴力法对拍过，应该没问题的。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 LL C[][], p9[] = {,};
 // C 数组为组合数，p9 是 9 的幂数组
 inline void initC(const int &n = ) {
     for(int i = ; i <= n; ++i)
         C[i][] = ;
     for(int i = ; i <= n; ++i)
         for(int j = ; j <= n; ++j)
             C[i][j] = C[i-][j-] + C[i-][j];
     for(int i = ; i <= n; ++i)
         p9[i] = p9[i-] * ;
 }

 LL all[], num0[], num1[];
 // all[i] 表示 i 位数的个数，num0[i] 表示不含数字 1 的 i 位数的个数
 // num1[i] 表示 i 位数中含有数字 1 出现的总次数，注意是 '1' 出现的总次数！求法有点麻烦
 inline void init(const int &k = ) {
     all[] = ;
     num0[] = ;
     for(int i = ; i <= k; ++i) {
         all[i] = all[i-] * ;
         num0[i] = num0[i-] * ;
     }
     initC();
     for(int n = ; n <= k; ++n) {
         LL &sum = num1[n];
         sum = ;
         for(int i = ; i <= n; ++i)
             sum += i * C[n][i] * p9[n-i];
     }
 }

 // 和数位 dp 的分析步骤有点类似
 inline LL solve(const LL &n) {
     LL digit[], len = , x = n;
     while(x) {
         digit[++len] = x % ;
         x /= ;
     }
     int count = ;      // 统计前 i 位数字 1 的个数
     LL sum = ;
     // 核心计数部分（结合曾经做过的数位 dp 的思路来考虑）
     for(LL i = len; i > ; --i) {
         sum += digit[i] * num1[i-];        // 先加上当第 i 位取 0~digit[i]-1 时，i-1 位数的数字 1 的总个数
         if(count)    sum += count * digit[i] * all[i-];    // 统计前面的 1 的个数（第 i 位后取任何数字都没所谓）
         if(digit[i] == )   ++count;            // 计数器加 1
         if(digit[i] > )   sum += all[i-];         // 统计若当前位取 1 时的个数（同理后面是什么都没所谓）
     }
     // 好好体会下这个数位 dp 的思路，要做到不重不漏真不容易~
     return sum;
 }

 // 分解统计 '1' 的个数
 inline LL caclu(LL x) {
     LL res = ;
     while(x) {
         if(x %  == )  ++res;
         x /= ;
     }
     return res;
 }

 // 暴力枚举统计
 inline LL test(const LL &x) {
     LL sum = ;
     for(LL i = ; i <= x; ++i)
         sum += caclu(i);
     return sum;
 }

 int main() {
     LL n;
     init();
     while(~scanf("%I64d",&n))
         printf("solve = %I64d  test = %I64d\n\n",solve(n+),test(n));
     return ;
 }

统计 1~n 中数字'1'出现的总次数

　　后来，按照题目的意思我又重做了一遍：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int dp[][];
 // dp[0][i] 表示包含 1 的 i 位数的个数
 // dp[1][i] 表示以 1 开头的不包含 1 的 i 位数的个数
 // dp[2][i] 表示不包含 1 的 i 位数的个数
 // 其实 dp[1][i] 和 dp[2][i] 实质是一样的，合并成一个就行了，所以空间和时间都能提升一点；为了让它更直观，我就不改了
 inline void init(int n = ) {
     dp[][] = ;
     for(int i = ; i <= n; ++i) {
         dp[][i] =  * dp[][i-] + dp[][i-];
         dp[][i] = dp[][i-];
         dp[][i] = dp[][i-] * ;
     }
 }

 inline int solve(int x) {
     int digit[], len = ;
     while(x) {
         digit[++len] = x % ;
         x /= ;
     }
     bool flag = ;
     int sum = ;
     for(int i = len; i; --i) {
         sum += digit[i] * dp[][i-];
         if(flag)    sum += digit[i] * dp[][i-];
         else if(digit[i] > )    sum += dp[][i];
         if(digit[i] == )   flag = ;
     }
     return sum;
 }

 const int inf = 0x7fffffff;

 int main() {
     int n;
     init();
     while(~scanf("%d",&n)) {       // 有符号 int 的上限，要注意处理好
         if(n == inf)    printf("%d\n",solve(n) + );
         else    printf("%d\n",solve(n+));
     }
     return ;
 }

统计包含'1'的数字的个数

　　耗费了一个中午和下午时间写完这两个代码后，我发觉我对于数位 dp 已经感到无爱了，再给我来一道这样的题的话就真的要挂了~

---------------------------------------------来填一下坑先---------------------------------------------------

　　后来发现，原来还有这样的一道题 统计一，把我第一个代码的 I64d 改为 lld 以及输出修改一下就能过，果然我的做法是对哦~