问题描述:
n个数字(下标为0, 1, …, n-1)形成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈中删除第m个数字(当前数字从1开始计数)。当一个数字被删除后,从被删除数字的下一个数字开始计数,继续删除第m个数字。求这个圆圈中剩下的最后一个数字。
 
分析:
这是有名的约瑟夫环问题
最直接的方法:
使用链表来模拟整个删除过程。因为需要n个链表节点,所以空间复杂度为O(n)。每删除一个节点,都需要m次运算,所以时间复杂度为O(mn)。

实现代码如下所示:

 // 18_1.cc
#include <iostream>
#include <list>
using namespace std; int josephus(size_t n, size_t m) {
if (n < || m < )
return -;
else if (n == )
return ; list<int> jos;
for(size_t i = ; i < n; i++)
jos.push_back(i); list<int>::iterator it = jos.begin();
while(jos.size() > ) {
for(size_t i = ; i <= m; i++) {
it++;
if(it == jos.end()) // 模拟环形
it = jos.begin();
} list<int>::iterator next = it; if (it == jos.begin())
it = jos.end();
it--;
jos.erase(it);
it = next;
} return *it;
} int main() {
size_t n = ;
size_t m = ;
cout << "The last one is: " << josephus(n, m) << endl;
return ;
}
从数学角度推导递推公式:
(1) 最开始n个数字为:0, 1, 2, … , n-1,该序列最后剩下的数字,是关于n和m的函数,记为f(n,m)。
(2) 第一次删除的节点为:(m-1)%n,这里记为k=(m-1)%n。
(3) 删除k之后,剩下的数字序列为k+1, k+2, …, n-1, 0, 1, …, k-1。该序列最后剩下的数字,是也是关于n-1和m的函数,只是规则不通过,记为f’(n-1, m)。
(4) (1)中最后剩下的数字和(3)中最后剩下的数字是相同的,所以f(n, m) = f’(n-1, m)。
(5) 对剩下的数字序列,做一个映射p(x) = (x-(k+1))%n,映射之前数字为x,映射之后为(x-(k+1))%n,如下所示:
k+1    ->    0
k+2    ->    1

n-1     ->    n-k-2
0        ->    n-k-1

k-1     ->    n-2
在这里,很容易知道p(x)函数的逆函数为:p-1(x) = (x+(k+1))%n
(5) 映射完之后的序列,也是从0开始的,所以可以继续使用f函数来标识,记为f(n-1, m)。
f(n-1, m) = p[f'(n-1, m)] 推出 f’(n-1, m) = p-1[f(n-1, m)] = (f(n-1, m) + (k+1))%n
将k=(m-1)%n代入得:f’(n-1, m) = (f(n-1, m) + m)%n
f(n, m) = (f(n-1, m) + m)%n
ok, 得到递推公式:
f(n, m) = 0, if n==1
f(n, m) = (f(n-1, m) + m)%n if n> 1
使用上述递推公式,时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。

实现代码如下所示:

 // 18_2.cc
#include <iostream>
using namespace std; int josephus(size_t n, size_t m) {
if (n < || m < )
return -; int res = ;
for (int i = ; i <= n; i++)
res = (res + m) % i; return res;
} int main() {
size_t n = ;
size_t m = ;
cout << "The last one is: " << josephus(n, m) << endl;
return ;
}

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