NOIP 2006 解题报告

第一题：

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为： (4⊕1)=10*2*3=60。 这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

求聚合能释放的最大总能量 。

解题过程： 1.石子合并的变形，处理方法可以参照USACO Broken Chain的方法，把环断开成链，然后复制一遍，这样处理起来方便很多。 2.F[i][j] 表示从第i个开始一共j个珠子合并得到的最大总能量，枚举中间点（最后一次合并的2个珠子）即可转移。 3.易错点：别忘了要写F[i+n][j]=F[i][j]，不要以为

F[i+n][j]用不到，其实不然。比如n=4，F[3][4]是要用到F[5][2]的；如果忘记写，只能拿20分。

第二题：

金明的预算方案，老题目了，分5种状态转移就好，由于钱是10的倍数，描述状态的时候除以一个10.否则空间会不够。

第三题：

我们现在要利用m台机器加工n个工件，每个工件都有m道工序，每道工序都在不同的指定的机器上完成。每个工件的每道工序都有指定的加工时间。 每个工件的每个工序称为一个操作，我们用记号j-k表示一个操作，其中j为1到n中的某个数字，为工件号；k为1到m中的某个数字，为工序号，例如2-4表示第2个工件第4道工序的这个操作。在本题中，我们还给定对于各操作的一个安排顺序。 例如，当n=3，m=2时，“1-1，1-2，2-1，3-1，3-2，2-2”就是一个给定的安排顺序，即先安排第1个工件的第1个工序，再安排第1个工件的第2个工序，然后再安排第2个工件的第1个工序，等等。 一方面，每个操作的安排都要满足以下的两个约束条件。 (1) 对同一个工件，每道工序必须在它前面的工序完成后才能开始； (2) 同一时刻每一台机器至多只能加工一个工件。 另一方面，在安排后面的操作时，不能改动前面已安排的操作的工作状态。 由于同一工件都是按工序的顺序安排的，因此，只按原顺序给出工件号，仍可得到同样的安排顺序，于是，在输入数据中，我们将这个安排顺序简写为“1 1 2 3 3 2”。 还要注意，“安排顺序”只要求按照给定的顺序安排每个操作。不一定是各机器上的实际操作顺序。在具体实施时，有可能排在后面的某个操作比前面的某个操作先完成。 例如，取n=3,m=2，已知数据如下：

工件号	机器号/加工时间
	工序1	工序2
1	1/3	2/2
2	1/2	2/5
3	2/2	1/4

则对于安排顺序“1 1 2 3 3 2”，下图中的两个实施方案都是正确的。但所需要的总时间分别是10与12。

当一个操作插入到某台机器的某个空档时（机器上最后的尚未安排操作的部分也可以看作一个空档），可以靠前插入，也可以靠后或居中插入。为了使问题简单一些，我们约定：在保证约束条件（1）（2）的条件下，尽量靠前插入。并且，我们还约定，如果有多个空档可以插入，就在保证约束条件（1）（2）的条件下，插入到最前面的一个空档。于是，在这些约定下，上例中的方案一是正确的，而方案二是不正确的。 显然，在这些约定下，对于给定的安排顺序，符合该安排顺序的实施方案是唯一的，请你计算出该方案完成全部任务所需的总时间。

解题过程：

1.实在不清楚这题考的是什么。算法都告诉你了，直接模拟。题目要多看几遍，搞了半天才看懂题目。 2.保存m个机器的各个空档的起始位置和宽度，从前往后找到第一个符合要求的插入即可，同时修改各个空挡的信息，我是用O(n)的时间直接让数组往后移一位 ，如果要追求完美，用链表O（1）的时间，但是写起来也麻烦。

第四题：

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件： （1）r至少是个2位的2^k 进制数。 （2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。 （3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。 在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<w≤30000）是事先给定的。 问：满足上述条件的不同的r共有多少个？ 我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。 例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有： 2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。 3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。 所以，满足要求的r共有36个。答案不超过200位

解题过程：

想到2种方法，不过第二种容易写一些。 首先分析一下数据范围，w<=30000，k<=9，r最长长度为2^9-1=511，因此w最大为511*9=4500，因此w最大在4500左右，如果更大，多出的长度只能都是0，不必管。
方法一（动态规划）： F[i][j]表示以不小于i的数字打头且长度为j的递增序列有多少个，（所有数字都是1~2^k-1）。 状态转移方程： F[i][j]=F[i+1][j](不用i打头的情况)+F[i+1][j-1]（用i打头的情况）; 特别地，当i+j=2^k的时候F=1； 当j=1的时候，F=2^k-i； 1.i，j最大都能达到511，然后保存200位高精度的数字，一共要500*500*200+=5000w，空间明显不够，不过数据貌似没那么恶心，保存100位高精度数字貌似也可以过，空间刚好够。。正解是用滚动数组。 2.如何根据F数组求解答案？首先是分2种情况。令p=w/k，q=2^k-1，m=w%k，c=2^m-1； A.转换成2进制时，除了有p段，前面还有m个0或1，也就是说r（2^k进制下）的最左边一位s是1~c的时候，有sum(F[s][p+1])种情况。 B.r最多有p段的时候，枚举段数s，答案就是sum（F[1][s]）; 合并起来就是答案，用滚动数组的时候，因为j=p+1是固定的，所以让j滚起来用。也就是用F[i]表示F[i][p+1];一开始做到这里我就傻掉了，因为求情况B的时候，sum（F[1][s]）没法求了。。头晕，睡了一觉后就转到第二种方法去写了。。结果写第二种方法的时候也碰到这种情况，（对滚动数组理解不够深刻啊。），想到了解决方法。这里其实dp的时候顺便用一个数组把所有F[1][j]保存下来就ok了。
方法二（组合数学）： 组合数的求法就不说了，关键是如何利用组合数求ans。 情况也是上面一样AB两种。 A.比如最左边是2的时候，那么右边还有p段，也就是说在3~q里取p个数排成递增的队列，也就是在q-2个数里取p个数，方案数就是C（q-2，p）；所以枚举最左边的数加起来就好。 B.同样也是枚举段数s，答案就是在q个数里取s个数，就是C（q，s）；
算法不难想到，难的是高精度的处理和滚动数组的优化。 另外在高精度输出答案的时候，如果答案是0，别忘了输出，因为一般都是pos=200，while（a[pos]==0）pos--，如果全是0的话就没输出了。