最小生成树--Prim算法，基于优先队列的Prim算法，Kruskal算法，Boruvka算法，“等价类”UnionFind
最小支撑树树--Prim算法，基于优先队列的Prim算法，Kruskal算法，Boruvka算法，“等价类”UnionFind
最小支撑树树
前几节中介绍的算法都是针对无权图的，本节将介绍带权图的最小支撑树(minimum spanning tree)算法。给定一个无向图G，并且它的每条边均权值，则MST是一个包括G的所有顶点及边的子集的图，这个子集保证图是连通的，并且子集中所有边的权值之和为所有子集中最小的。
本节中介绍三种算法求解图的最小生成树：Prim算法、Kruskal算法和Boruvka算法。其中Prim算法将介绍两种实现方法，一种是普通的贪心算法；而第二种算法是借助最大堆的贪心算法，其性能更高。Prim算法的思路是从任意一个顶点开始，逐步向已形成的MST子树中增加权值最小的边从而最终形成MST。Kruskal算法和Boruvka算法类似，都是向MST子树的一个分布森林中增加边来构建MST。
这三种算法都是贪心算法，有关贪心算法的讨论请参阅相关书籍。贪心算法的思想是选择当时最佳的路径。一般而言，贪心策略不一定能保证找到全局最优解，但是对最小支撑树问题来说，贪心策略能获得具有最小权值的生成树。
本节将使用前面章节中介绍的广义树来返回图的最小生成树。实现上述三个算法的类名称为MinimumSpanningTree。
1 Prim算法
Prim算法可以说是所有MST算法中最简单的，比较适用于稠密图。以图中任意一个顶点S开始，选择与之相关连的边中权值最小的边加入到MST中，假设这条边的终点为T，则MST初始化为(S, T)，称之为“当前MST”。接下来在剩余的边中选择与当前MST中s所有顶点相关连的边中权值最小的边，并添加到当前MST中。这一过程一直迭代到图中所有顶点都添加到MST中为止。
在迭代时，假设当前MST中顶点形成集合Vs，则对Vs中的每一个vi，遍历与其相邻的所有边，并找到权值最小的边。这一过程实现如下：
/* Prim算法，求解图G的最小生成树
* @param 输入s：最小生成树的树根
* @return 函数返回时V，D，mst都重新赋值
*/
public void Prim(int s){
if(s < 0)
return;
int nv = G.get_nv();
// 初始化
for(int i = 0; i < nv; i++){
D[i] = Integer.MAX_VALUE;
V[i] = -2;
// 0 -- 没添加到树中
G.setMark(i, 0);
}
// 对起点s，父节点为-1，距离为0
V[s] = -1;
D[s] = 0;
G.setMark(s, 1);
// 将起点添加到广义树中
mst.addChild(0, s, new ElemItem<Double>(D[s])); /* 在其余顶点中找到与当前MST最近的顶点v，并将顶点的父节点和
* 顶点v添加到MST中。其中图的权值存放在节点v中。
* 循环迭代，直至所有顶点都遍历一遍 */
while(true){
/*获取与当前树距离最近的边，其终点为最近的顶点
* 终点为最近顶点的父节点 */
Edge E = Utilities.minNextEdge(G, V);
//如果边为空，函数返回
if(E == null) return;
System.out.println(E.get_v1() + " -- "
+ E.get_v2() + " -- "
+ G.getEdgeWt(E));
// E的起点赋值给V[E的终点]
V[E.get_v2()] = E.get_v1();
// E的权值赋值给D[E的终点]
D[E.get_v2()] = G.getEdgeWt(E);
// E的终点被访问过了
G.setMark(E.get_v2(), 1);
// 在最小生成树中添加边E对应的信息
mst.addChild(E.get_v1(), E.get_v2(),
new ElemItem<Double>(D[E.get_v2()]));
}
}
函数中对MinimumSpanningTree的数组V和D的值进行更新，V[i]的值表示最小支撑树中中顶点i的父顶点，D[i]表示顶点i与其父顶点V[i]之间边的权值。函数最终向当前对象的mst（最小支撑树）中添加顶点，最终形成以起始顶点S为根节点的广义树树结果（左子节点右兄弟节点树）。
如图所示，以顶点0为起点求解图中最小支撑树。按照程序流程，构造MST的详细过程如图(1~8)所示。
以图做为测试并检验函数。起始顶点0，测试程序如下：
public static void main(String args[]){
GraphLnk GL =
Utilities.BulidGraphLnkFromFile("Graph\\graph7.txt");
MinimumSpanningTree MSTex = new MinimumSpanningTree(GL);
MSTex.Prim(0);
MSTex.mst.ford_print_tree();
System.out.println("各顶点的父节点：");
for(int i = 0; i < MSTex.V.length; i++){
System.out.print(MSTex.V[i] + ", ");
}
System.out.println("\n各顶点距其父节点距离：");
for(int i = 0; i < MSTex.D.length; i++){
System.out.print((int)(MSTex.D[i]) + ", ");
}
}
程序运行结果如下：
0 -- 1 -- 4
0 -- 7 -- 8
7 -- 6 -- 1
6 -- 5 -- 2
5 -- 2 -- 4
2 -- 8 -- 2
2 -- 3 -- 7
3 -- 4 -- 9
9 节点,前序遍历打印：
|—— 0.0(0)
|—— 4.0(1)
|—— 8.0(7)
|—— 1.0(6)
|—— 2.0(5)
|—— 4.0(2)
|—— 2.0(8)
|—— 7.0(3)
|—— 9.0(4)
各顶点的父节点：
-1, 0, 5, 2, 3, 6, 7, 0, 2,
各顶点距其父节点距离：
0, 4, 4, 7, 9, 2, 1, 8, 2,
结果第一部分为各顶点添加到最小生成树mst中的顺序；第二部分为mst的前序遍历打印结果；最后一部分为各顶点在mst中的父节点以及与父节点形成的边在图中的权值。
2 基于优先队列的Prim算法
Prim算法的流程比较容易理解，算法可以在线性时间内找出图的MST。但是从实现过程可以发现，在遍历与顶点相邻的所有边寻找与当前MST最近的顶点时，需要进行循环判断，选择距离最近的边之后其余边的信息将被舍弃；在下次循环判断时这些舍弃的边又被再次参与“竞选”最近的边，这无疑带来了重复判断。
可以引入一个最小堆，堆中存放遍历过的边。在遍历与顶点相邻的所有边时，首先将连边添加到堆中，然后直接将堆顶的边取出并添加到MST中。这样就可以避免重复判断。算法的实现如下：
/*
* 基于有线队列的Prim算法；
* 需要利用最小堆结构，但是我们之前只设计了最大堆，
* 所以将堆节点中用于表示大小关系的元素值乘以-1，
* 作用等效于最小堆；堆节点元素为 EdgeElem。
* @param 起始顶点s
*/
public void PrimPQ(int s){
if(s < 0) return;
// 图顶点和图边个数
int nv = G.get_nv();
int ne = G.get_ne();
// 堆最大为边的条数
MaxHeap H = new MaxHeap(ne);
// 初始化
for(int i = 0; i < nv; i++){
D[i] = Integer.MAX_VALUE;
V[i] = -2;
// 0 -- 没添加到树中
G.setMark(i, 0);
} // 对起点s，父节点为-1，距离为0
V[s] = -1;
D[s] = 0;
G.setMark(s, 1);
// 将起点添加到广义树中
mst.addChild(0, s, new ElemItem<Double>(D[s]));
// 初始化堆，将与起点相连的边都添加到堆中
for(Edge E = G.firstEdge(s); G.isEdge(E); E = G.nextEdge(E)){
D[E.get_v2()] = G.getEdgeWt(E);
V[E.get_v2()] = s;
H.insert(new ElemItem<EdgeElem>
(new EdgeElem(E, -1 * G.getEdgeWt(E))));
}
H.printHeap();
// 将堆顶元素删去并返回
int v = -1;
EdgeElem PE = null;
while(true){
v = -1;
// 如果堆不为空
while(H.topVal() != null){
// 删除并返回堆顶元素
PE = (EdgeElem)(H.removeMax().elem);
H.printHeap();
v = PE.get_v2();
// 如果堆顶元素对应的顶点没有被访问，则退出循环
if(G.getMark(v) == 0)
break;
// 否则表示没有找到下一个可添加到MST的顶点
else v = -1;
}
// 如果没有可继续添加的顶点了，函数返回
if(v == -1)
return;
// 将得到的堆顶元素对应顶点重置为访问过
G.setMark(v, 1);
// 在最小生成树中添加边E对应的信息
mst.addChild(PE.get_v1(), PE.get_v2(),
new ElemItem<Double>(D[PE.get_v2()]));
// 继续将与v相连的、未经访问的边添加到堆中
for(Edge w = G.firstEdge(v); G.isEdge(w); w = G.nextEdge(w)){
// 顶点尚未被访问过，并且不在堆中
if(G.getMark(w.get_v2()) == 0
&& D[G.edge_v2(w)] > G.getEdgeWt(w)){
D[G.edge_v2(w)] = G.getEdgeWt(w);
V[G.edge_v2(w)] = v;
H.insert(new ElemItem<EdgeElem>
(new EdgeElem(w, -1 * G.getEdgeWt(w))));
}
}
H.printHeap();
}
}
由于在前面章节中我们只讨论了最大堆，这里没有为PrimPQ算法特别设计最小堆，而是在函数中对最大堆来稍作改变来实现最小堆的功能：在向堆中添加边信息时，先将边的权值取相反数。
图中边的信息包括边的源点、终点和权值，由于基于连接表的图数据结构中没有这样的边数据结构，这里重新设计了边数据结构作为堆中元素项。其设计如下：
/*
* 继承Comparable接口的EdgeElem类，其中包含一条边和这条边的权值
*/
public class EdgeElem implements Comparable{
Edge e;
int wt;
// 构造函数
public EdgeElem(Edge _e, int _wt){
e = _e;
wt = _wt;
}
// 获取边的起点
public int get_v1(){
return e.get_v1();
}
// 获取边的终点
public int get_v2(){
return e.get_v2();
}
// 获取边的权值
public int get_wt(){
return wt;
}
// 比较函数，比较对象为PrinElem的边的权值
public int compareTo(Object o) {
EdgeElem other = (EdgeElem)o;
if(wt > other.wt) return 1;
else if(wt == other.wt) return 0;
else return -1;
}
// 便于显示，返回边信息
public String toString(){
return "(" + e.get_v1() + ", "
+ e.get_v2() + "), " + wt;
}
}
这里不对算法的详细过程进行分析，通过示示例程序并跟踪堆中元素项的变化来进行解释，读者可以自行分析算法流程。示例程序使用的图为例。示例程序如下：
public class PrimPQExample {
public static void main(String args[]){
GraphLnk GL =
Utilities.BulidGraphLnkFromFile("Graph\\graph7.txt");
MinimumSpanningTree MSTex = new MinimumSpanningTree(GL);
MSTex.PrimPQ(0);
MSTex.mst.ford_print_tree();
System.out.println("各顶点的父节点：");
for(int i = 0; i < MSTex.V.length; i++){
System.out.print(MSTex.V[i] + ", ");
}
System.out.println("\n各顶点距其父节点距离：");
for(int i = 0; i < MSTex.D.length; i++){
System.out.print((int)(MSTex.D[i]) + ", ");
}
}
}
堆中元素项变化（添加和删除元素项时显示）以及最终MST树结果如下：
堆中元素旋转90度分层打印：
(0, 1), -4
(0, 7), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(0, 7), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(0, 7), -8
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(7, 6), -1
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(6, 5), -2
(6, 8), -6
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(6, 8), -6
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(5, 4), -10
(5, 2), -4
(5, 3), -14
(6, 8), -6
(1, 2), -8
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(6, 8), -6
(5, 3), -14
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(6, 8), -6
(2, 3), -7
(2, 8), -2
(5, 3), -14
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(2, 3), -7
(6, 8), -6
(5, 3), -14
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(2, 3), -7
(6, 8), -6
(5, 3), -14
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(7, 8), -7
(2, 3), -7
(5, 3), -14
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 3), -14
(7, 8), -7
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 3), -14
(7, 8), -7
(3, 4), -9
(1, 2), -8
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 3), -14
(1, 2), -8
(3, 4), -9
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 3), -14
(3, 4), -9
(5, 4), -10
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 4), -10
(5, 3), -14
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 4), -10
(5, 3), -14
堆中元素旋转90度分层打印：
(5, 3), -14
堆中元素旋转90度分层打印：
9 节点,前序遍历打印：
|—— 0.0(0)
|—— 4.0(1)
|—— 8.0(7)
|—— 1.0(6)
|—— 2.0(5)
|—— 4.0(2)
|—— 2.0(8)
|—— 7.0(3)
|—— 9.0(4)
各顶点的父节点：
-1, 0, 5, 2, 3, 6, 7, 0, 2,
各顶点距其父节点距离：
0, 4, 4, 7, 9, 2, 1, 8, 2,
程序打印结果的第一部分为堆中边的动态变化情况；第二部分为生成的MST，其中根节点为算法的起始顶点；最后一部分表示的是各顶点的在MST中的父节点以及与父节点形成的边的权值。
3 Kruskal算法
Prim算法和基于优先队列的Prim算法的思路都是通过一次找出一条边添加到MST中，其中每一步都是要找到一条新的边并且关联到不断增长的当前MST。Kruskal算法也是一次找到一条边来不断构建MST，但是与Prim算法不同的是，它要找到 连接两棵树的一条边，这两棵树处于一个MST子树的分离的森林中，其中MST子树将不断增长。
算法由一个包括N棵（单个顶点组成的）树的森林开始。然后持续完成合并两棵树的操作（使用最短的边连接它们），直至只剩下一棵树，这棵树就是最终的MST树。这一过程等效于：首先将每个顶点各自划分至一个“等价类”，共N个等价类，每次选择最短的边将等价类进行合并，直至只剩下一个等价类为止。
为保证连接等价类边的权值最短，算法首先对图中所有边按照权值进行排序。按权值由小到大一次选择边，如果边的两顶点分别属于不同的等价类，则将这条边添加到MST并将这对顶点所属的等价类合并。本节最后一部分将介绍的UnionFind类将是一个理想的数据结构，可以实现等价类的合并(Union)并判断两个顶点是否属于同一个等价类(Find)。
基于以上的描述，Kruskal算法实现如下：
/*
* Krustral算法获取最小支撑树；算法借助UnionFind类
*/
public void Krustral(){
int nv = G.get_nv();
int ne = G.get_ne();
// 获取图上的每一条边，并将边按照权值由大到小排序
ITEM[] E = Utilities.GetEdgeSort(G);
// 集合形式的等价类
UnionFind UF = new UnionFind(nv);
// 待返回的EdgeElem数组
R = new EdgeElem[nv];
int r = 0;
for(int i = 0, k = 1; i < ne && k < nv; i++){
// 获取一条边
EdgeElem pe = (EdgeElem)(E[i].getElem());
int v1 = pe.get_v1();
int v2 = pe.get_v2();
// 如果这条边的两个顶点不在同一个等价类中
if(UF.find(v1) != UF.find(v2)){
// 则将这两个顶点合并，
UF.union(v1, v2);
System.out.println(UF.toString());
// 并将这条边添加到EdgeElem数组中
R[r++] = pe;
}
}
}
算法中调用函数GetEdgeSort获取图中所有边，并按照权值有小到大进行排序。GetEdgeSort函数首先将图中所有边取出，并以EdgeElem类的对象形式放置到ITEM类型的数组E中；然后调用第章中的任意一种排序算法对E中元素进行排序，其中EdgeElem类继承的copmareTo函数比较的是两个边对象的权值。这里选择快速排序算法，经过快速排序后E数组中的边按照权值有小到大顺序排列。算法实现过程如下：
/*
* 获取图中所有边，并将这些边按照权值由大到小排序；
* @param G 函数输入为图G
* @return 返回为ITEM数组，每个元素为EdgeElem
* 对象，元素按照权值排序；
*/
public static ITEM[] GetEdgeSort(Graph G){
if(G == null) return null;
// 首先将所有边存至ITEM数组
int ne = G.get_ne();
int nv = G.get_nv();
ITEM[] E = new ITEM[ne];
int edge_cnt = 0;
for(int i = 0; i < nv; i++){
for(Edge e = G.firstEdge(i); G.isEdge(e); e = G.nextEdge(e)){
E[edge_cnt++] = new ITEM(new EdgeElem(e, G.getEdgeWt(e)));
}
}
// 将ITEM数组排序，这里采用快速排序
Sort st = new Sort();
st.quicksort(E, 0, E.length - 1);
// 返回ITEm数组
return E;
}
图(1~8)逐步实例了Kruskal算法的操作，从不连通的子树森林逐步演化为一棵树。边按其长度的顺序添加到MST中，所以组成此森林的顶点相互之间都通过相对短的边连接。
以上图为例调用Krustral函数，并跟踪UnionFind对象中等价类的变化过程。实例程序如下：
public class KruskalExample {
public static void main(String args[]){
GraphLnk GL =
Utilities.BulidGraphLnkFromFile("Graph\\graph7.txt");
MinimumSpanningTree MSTex = new MinimumSpanningTree(GL);
MSTex.Krustral();
MSTex.mst.ford_print_tree();
System.out.println("MST各条连接边为：");
for(int i = 0; i < MSTex.R.length; i++){
System.out.println(MSTex.R[i]);
}
}
}
程序运行结果为：
0. -1, 1. -1, 2. -1, 3. -1, 4. -1, 5. -1, 6. -2, 7. 6, 8. -1,
0. -1, 1. -1, 2. -2, 3. -1, 4. -1, 5. -1, 6. -2, 7. 6, 8. 2,
0. -1, 1. -1, 2. -2, 3. -1, 4. -1, 5. 6, 6. -2, 7. 6, 8. 2,
0. -1, 1. -1, 2. 6, 3. -1, 4. -1, 5. 6, 6. -3, 7. 6, 8. 2,
0. 1, 1. -2, 2. 6, 3. -1, 4. -1, 5. 6, 6. -3, 7. 6, 8. 2,
0. 1, 1. -2, 2. 6, 3. 6, 4. -1, 5. 6, 6. -3, 7. 6, 8. 6,
0. 1, 1. 6, 2. 6, 3. 6, 4. -1, 5. 6, 6. -3, 7. 6, 8. 6,
0. 6, 1. 6, 2. 6, 3. 6, 4. 6, 5. 6, 6. -3, 7. 6, 8. 6,
MST各条连接边为：
(6, 7), 1
(2, 8), 2
(6, 5), 2
(5, 2), 4
(1, 0), 4
(3, 2), 7
(0, 7), 8
(3, 4), 9
结果第一部分为等价类变化过程，第二部分为MST中添加边的顺序。对等价类的显示结果这里先简要解释，详细分析请参见本节UnitFind部分。以结果中第6行为例进行解释：
0. 1,1. -2,2. 6,3. 6,4. -1,5. 6,6. -3,7. 6,8. 6,
其中“.”之前前的数值表示顶点号；之后的数值表示了与该顶点属于同一个等价类的另一顶点，如果该值为负数，表示该顶点为所属等价类中的根。例如，顶点0对应值为1，而顶点1对应值为-2，则顶点0和1属于同一个等价类；顶点2, 3, 5, 7, 8对应值都为6，所以顶点2, 3, 5, 6, 7, 8属于同一个等价类。对应个顶点链接图为图中(6)。
4. Boruvka算法
Boruvka算法是MST算法中最为古老的算法。类似于Kruskal算法，Bruvka算法也要向MST子树的森林添加边来构建MST；但是这是分步完成，每一步都增加多条MST边。在每一步中，会连接每一棵MST子树与另一棵子树的最短边，再将所有这样的边都增加到MST中。
本算法同样借助于UnionFind类。首先维护一个顶点索引数组，它可为各个MST子树找出最近的邻居。其次对图中每条边进行以下操作：
l 如果此边链接了同一子树上的两个顶点，则将其删除；
l 否则，检查此边所连接的两个子树之间的最近邻居距离，如果有则更新此距离。
遍历操作图中所有顶点后，最近邻居数组中则有了链接子树所需的边的信息。对于每个顶点索引，要完成一个合并操作(Union)使它与其最近邻居相连接。在下一步中，去除目的连接的MST子树中链接其他顶点对的所有更长边。算法实现如下：
/**
* Boruvka 算法求解最小支撑树
**/
public void Boruvka(){
int nv = G.get_nv();
int ne = G.get_ne(); // 获取图上的每一条边
EdgeElem[] E = Utilities.GetEdge(G);
EdgeElem[] B = new EdgeElem[nv];
// 集合形式的等价类
UnionFind UF = new UnionFind(nv);
// 待返回的EdgeElem数组
R = new EdgeElem[nv];
int r = 0;
int N = 0;
// 权值为无穷大的边
EdgeElem _z = new EdgeElem(null,
Integer.MAX_VALUE);
// 对每一个子树
for(int e = ne; e != 0; e = N){
System.out.print("h-\t");
System.out.println(UF.toString());
int h, i, j;
// 权值初始化为 oo
for(int t = 0; t < nv; t++)
B[t] = _z;
// 对每一条边
for(h = 0, N = 0; h < e; h++){
EdgeElem pe = E[h];
// 获取边的起点和终点
i = UF.find(pe.get_v1());
j = UF.find(pe.get_v2());
// 起点和终点如果在同一个等价类中，则跳出本次循环
if(i == j)
continue;
// 更新两棵树之间的最近距离
if(pe.get_wt() < B[i].get_wt())
B[i] = pe;
if(pe.get_wt() < B[j].get_wt())
B[j] = pe;
// N表示的是当前的子树个数
E[N++] = pe;
}
// 对MST中每条边
for(h = 0; h < nv; h++){
// B[h]是第h个顶点与其它树之间的最近距离的边
if(B[h] != _z
// 如果B[h]的起点和终点不在同一个等价类中
&& UF.find(B[h].get_v1())
!= UF.find(B[h].get_v2())){
// 将起点和终点放置到同一个等价类中
UF.union(B[h].get_v1(), B[h].get_v2());
// 并将这条边添加到EdgeElem数组中
R[r++] = B[h];
}
}
}
}
函数中，E数组中首先保存途中所有顶点，调用函数GetEdge实现。数组B即为用于各个子树找出最近的邻居的顶点索引数组。算法初始状态下每个顶点分别属于不同等价类，然后按照上面算法描述中的方法找出各子树之间的最近连接边。
图(1~8)显示了算法的过程，其中(1~6)为第一次遍历过程，并得到三个子树形成的森林；(7~8)为第二次遍历过程，得到最终的最小支撑树。算法过程中跟踪每次遍历后等价类的变化。
以上图为例，对算法进行测试，实例程序如下：
public class BoruvkaExample {
public static void main(String args[]){
GraphLnk GL =
Utilities.BulidGraphLnkFromFile("Graph\\graph7.txt");
MinimumSpanningTree MSTex = new MinimumSpanningTree(GL);
MSTex.Boruvka();
System.out.println("MST各条连接边为：");
for(int i = 0; i < MSTex.R.length; i++){
System.out.println(MSTex.R[i]);
}
}
}
程序结果为：
0. -1, 1. -1, 2. -1, 3. -1, 4. -1, 5. -1, 6. -1, 7. -1, 8. -1,
0. -2, 1. 0, 2. -2, 3. 2, 4. 2, 5. -2, 6. 5, 7. 5, 8. 2,
0. -3, 1. 0, 2. 0, 3. 2, 4. 2, 5. 0, 6. 5, 7. 5, 8. 2,
MST各条连接边为：
(0, 1), 4
(2, 8), 2
(2, 3), 7
(3, 4), 9
(5, 6), 2
(6, 7), 1
(0, 7), 8
(2, 5), 4
UnionFind类
UnionFind（合并查找）类可以实现等价类描述。假设一组元素V，其中元素分为n(n ≤ |V|)等价类C1, C2, …, Cn。等价类满足一下性质：
l 每一个元素只能属于一个等价类；
l 等价类的同属关系具有传递性。
对于第二个性质，设顶点vi与vj属于同一等价类，顶点vk与vj属于同一等价类，则顶点vi和vk与vj都属于同一等价类。
这里我们关心两个等价类的合并(Union)和任意元素所属等价类名称的返回(Find)。这里我们定义等价类的名称为等价类中某个特定的元素，由于每个元素只可能属于一个等价类，所以每个等价类的名称一定是唯一的，我们称之为这个等价类的根。合并两个等价类时，可以分别指定两个等价类中任意元素，然后将它们合二为一。
类的实现如下：
package Set; /**
* 等价关系（等价类）ADT的实现，这里的等价类表示数组中元素的是否是同一类。
* 数组array表示的是下标序号关联。
**/ public class UnionFind { private int[] array; /**
* 构造函数，参数为array的长度
**/
public UnionFind(int numElements) {
array = new int [numElements];
// 数组中数值全为 -1
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
array[i] = -1;
}
} /**
* union() 将两个集合合并为同一个集合，具体来说是将
* 第一个集合的下标与第二个集合的下标合并到一个集合中。
* @param root1 第一个集合中的任意一个下标.
* @param root2 第二个集合中的任意一个下标.
* 如果root1和root2分别不是两个集合的根，则首先将他们
* 的根求出来
**/
public void union(int root1, int root2) {
// 如果root1和root2分别不是两个集合的根，
// 则首先将他们的根求出来
root1 = find(root1);
root2 = find(root2);
// 如果root2更高，则将root2设为合并后的根
if (array[root2] < array[root1]) {
array[root1] = root2;
}
else {
// 如果一样高，减小其中一个的高度
if (array[root1] == array[root2]) {
array[root1]--;
}
// 一样高或者root1更高，则将root1设为合并后的根
array[root2] = root1;
}
} /**
* find() 寻找输入下标所在的集合的集合名
* @param x： 输入下标
* @return ： 集合名
**/
public int find(int x) {
// x是根，直接返回
if (array[x] < 0) {
return x;
}
else {
/* 递归寻找x的根，在递归过程中将压缩x的索引深度，
* 使得array[x]中保存根节点的下标*/
array[x] = find(array[x]);
return array[x];// 返回根节点
}
}
/**
* 返回所有的等价类
*/
public String toString(){
String s = "";
for(int i= 0; i < array.length; i++){
s += i+". "+array[i] + ",\t";
}
return s;
} }
其中似有成员为整型数组，数组下标对应实际元素的序号。例如array[i]的值包含第i个元素所属的等价类。find函数是递归函数，充分利用等价类的第二个性质。对于元素i，array[i]=j，包含两种情况：
l 如果j<0，则说明第i个元素为等价类的根，该等价类的名为i，则返回i；
l 如果j>0，则说明第i个元素与第j个元素属于同一个等价类，则递归调用函数find返回j的等价类名称，递归调用直至满足上一情况为止。
union函数将两个等价类合并，只需要分别指定两个等价类中的任意元素i, j，
l 如果这两个元素分别是等价类的名，则将array[j]←i；
l 否则，首先调用函数find找到两个等价类的名称，然后再合并。
在本节讨论的Kruskal算法和Boruvka算法都利用了UnionFind类的union函数和find函数，读者可自行体会函数的功能。
最小生成树--Prim算法，基于优先队列的Prim算法，Kruskal算法，Boruvka算法，“等价类”UnionFind的更多相关文章
- 最小生成树算法 prim kruskal两种算法实现 HDU-1863 畅通工程
最小生成树 通俗解释:一个连通图,可将这个连通图删减任意条边,仍然保持连通图的状态并且所有边权值加起来的总和使其达到最小.这就是最小生成树 可以参考下图,便于理解 原来的图: 最小生成树(蓝色线): ...
- hdu 1233:还是畅通工程（数据结构，图，最小生成树，普里姆（Prim）算法）
还是畅通工程 Time Limit : 4000/2000ms (Java/Other) Memory Limit : 65536/32768K (Java/Other) Total Submis ...
- Google Cardboard的九轴融合算法——基于李群的扩展卡尔曼滤波
Google Cardboard的九轴融合算法 --基于李群的扩展卡尔曼滤波 极品巧克力 前言 九轴融合算法是指通过融合IMU中的加速度计(三轴).陀螺仪(三轴).磁场计(三轴),来获取物体姿态的方法 ...
- 基于C#程序设计语言的三种组合算法
目录 基于C#程序设计语言的三种组合算法 1. 总体思路 1.1 前言 1.2 算法思路 1.3 算法需要注意的点 2. 三种组合算法 2.1 普通组合算法 2.2 与自身进行组合的组合算法 2.3 ...
- [python] A*算法基于栅格地图的全局路径规划
# 所有节点的g值并没有初始化为无穷大 # 当两个子节点的f值一样时,程序选择最先搜索到的一个作为父节点加入closed # 对相同数值的不同对待,导致不同版本的A*算法找到等长的不同路径 # 最后c ...
- 20155206赵飞 基于《Arm试验箱的国密算法应用》课程设计个人报告
20155206赵飞 基于<Arm试验箱的国密算法应用>课程设计个人报告 课程设计中承担的任务 完成试验箱测试功能1,2,3 . 1:LED闪烁实验 一.实验目的 学习GPIO原理 ...
- 2015520吴思其 基于《Arm试验箱的国密算法应用》课程设计个人报告
20155200吴思其 基于<Arm试验箱的国密算法应用>课程设计个人报告 课程设计中承担的任务 完成试验箱测试功能4,5,6以及SM3加密实验的实现 测试四 GPIO0按键中断实验 实验 ...
- 基于候选区域的深度学习目标检测算法R-CNN，Fast R-CNN，Faster R-CNN
参考文献 [1]Rich feature hierarchies for accurate object detection and semantic segmentation [2]Fast R-C ...
- 浅谈分词算法基于字的分词方法（HMM）
前言 在浅谈分词算法(1)分词中的基本问题我们讨论过基于词典的分词和基于字的分词两大类,在浅谈分词算法(2)基于词典的分词方法文中我们利用n-gram实现了基于词典的分词方法.在(1)中,我们也讨论了 ...
随机推荐
- 布置theano（Ubuntu14.04 LTS）
引言 由于研究生阶段将会从事自然语言处理方向的研究,目前要用到机器学习和深度学习相关的框架,那应老师的要求,将要使用theano,由于theano官方文档中关于ubuntu下配置的问题并没有给出很好的 ...
- 数据库执行监控，除了Profiler的方案
怎么查找库中的数据库相关信息: Select * from sys.databases; 返回字段: name(数据库名称) database_id(数据库id) .... Select sqlTex ...
- ES6入门之Iterator和for...of
Iterator遍历器 遍历器(Iterator)就是这样一种机制.它是一种接口,为各种不同的数据结构提供统一的访问机制.任何数据结构只要部署Iterator接口,就可以完成遍历操作(即依次处理该数据 ...
- ${pageContext.request.contextPath} JSP取得绝对路径
一．问题 JSP中究竟采用绝对路径还是采用相对路径随着所采用技术的越来越复杂,这个问题也变得越来越难以解决. 1)采用相对路径遇到的问题 相对路径固然比较灵活,但如果想复制页面内的代 ...
- ViewController 的代码规范
1.#pragma mark - life cycle viewDidLoad viewWillAppear 2.#pragma mark - delegate #pragma mark collec ...
- Leetcode: Guess Number Higher or Lower
We are playing the Guess Game. The game is as follows: I pick a number from 1 to n. You have to gues ...
- Sublime 不自动打开上次未关闭的文件 设置方法
{ "font_size": 17, "hot_exit": false, "remember_open_files": false, &q ...
- mvc3在window 7 iis7下以及 xp iis 5.1下的部署 ,asp.net MVC3无法打开项目文件E:/我们的项目/Project/HeatingMIS.Web/HeatingMIS.Web.csproj”。此安装不支持该项目类型。
今天,小白来总结一下我在is上部署mvc3 .net 网站的时候的过程和遇到的问题. 其实,mvc的网站的部署跟平常的网站的部署都是一样的,只是下面有一些需要注意的地方. 1.应用程序池采用集成模式( ...
- Android -- FragmentTabHost实现微信底部切换
1,在商城类的项目中我们开始一个项目的时候经常出现这样的需求,如下图所示: 下面使用户可以切换的模块,上面是对应的模块的详细内容,实现这个效果有很多方式,可以使用radiobutton+fragmen ...
- （转）SQL对Xml字段的操作
T-Sql操作Xml数据 一.前言 SQL Server 2005 引入了一种称为 XML 的本机数据类型.用户可以创建这样的表,它在关系列之外还有一个或多个 XML 类型的列:此外,还允许带有变量和 ...