学习笔记-动态树Link-Cut-Tree

--少年你有梦想吗？
--少年你听说过安利吗？

安利一个集训队讲解：http://wenku.baidu.com/view/75906f160b4e767f5acfcedb

关于动态树问题，有多种方法。。LCT是其中比较常用的方法；

LCT这种东西根本没用----by ShallWe
----你真的确定吗（charge）
我之前非常确定。
。。。。。。。。。

LCT的话，比较类似树链剖分，有类似轻重链的东东Preferred Path。不过链剖是用线段树维护，而LCT应用伸展树Splay维护。按深度维护。

动态树可以维护一个动态的森林，支持树的合并（两棵合并成一棵），分离（把某个点和它父亲点分开），动态LCA，树上的点权和边权维护、查询（单点或者树上的一条路径），换根。

具体的几个操作：

Access操作：大体上就是访问这个点。

是所有操作的基础，假设调用了过程ACCESS(v),那么从点v到根结点的路径就成为一条新的PreferredPath.如果路径上经过的某个结点u并不是它的父亲parent(u)的Pre-ferredChild,那么由于parent(u)的PreferredChild会变为u,原本包含parent(u)的PreferredPath将不再包含结点parent(u)及其之上的部分.

时间复杂度是均摊的logn证明详见开头的论文。。

Find_Root操作：在ACCESS(v)之后,根结点一定是v所属的AuxiliaryTree的最小结点.我们先把v旋转到它所属的AuxiliaryTree的根.再从v开始,沿着AuxiliaryTree向左走,直到不能再向左,这个点就是我们要找的根结点.由于使用的是SplayTree数据结构保存AuxiliaryTree,我们还需要对根结点进行Splay操作.

Link操作：进行合并

Cut操作:将之分离

（其实最开始想写指针的QAQ，调不出来TAT）感谢Claris的代码帮助

[应用]

１、 最近公共祖先

询问v,w的最近公共祖先，首先执行access(v)，再执行access(w)，当执行access(w)时，记录最近的一个再上次access中被访问的点，这个点就是最近公共祖先。

每次询问需要O(logN)时间。 ２、 集合的合并与分离

可以支持Link和Find操作，还能支持以某种方式分离，而每个集合操作的时间复杂度为O(logN) ３、 最大流

动态树可以用来优化最短路径增广算法，使每次增广的复杂度降为O(mlogN)，并使总复杂度为O(mnlogN)。 ４、 最小生成树

动态树在最小生成树问题中有许多应用。 比如，最小生成树的增量算法、度限制生成树。还有其他许多种变形

模板：（可以压到很短的，抱歉我又刷屏了）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 10010
int f[N],son[N][2],val[N],sum[N],tmp[N];bool rev[N];
bool isroot(int x)
{
    return !f[x]||son[f[x]][0]!=x&&son[f[x]][1]!=x;
}//判根
void rev1(int x)
{
    if(!x) return;
    swap(son[x][0],son[x][1]);
    rev[x]^=1;
}//翻转
void pb(int x)
{
    if(rev[x])
        rev1(son[x][0]),rev1(son[x][1]),rev[x]=0;
}//翻转
void up(int x)
{
        sum[x]=val[x];
        if(son[x][0])sum[x]+=sum[son[x][0]];
        if(son[x][1])sum[x]+=sum[son[x][1]];
}//更新值
void rotate(int x)
{
    int y=f[x],w=son[y][1]==x;
    son[y][w]=son[x][w^1];
    if(son[x][w^1]) f[son[x][w^1]]=y;
    if(f[y])
        {
            int z=f[y];
            if(son[z][0]==y)son[z][0]=x;
                else if(son[z][1]==y)son[z][1]=x;
        }
    f[x]=f[y];f[y]=x;
    son[x][w^1]=y;up(y);
}//旋转
void splay(int x)
{
    int s=1,i=x,y;tmp[1]=i;
    while(!isroot(i)) tmp[++s]=i=f[i];
    while(s) pb(tmp[s--]);
    while(!isroot(x))
        {
            y=f[x];
            if(!isroot(y))
                {
                    if((son[f[y]][0]==y)^(son[y][0]==x))
                    rotate(x);  else  rotate(y);
                }
            rotate(x);
        }
    up(x);
}//伸展
void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
        splay(x),son[x][1]=y,up(x);
}//访问
int root(int x)
{
    access(x);splay(x);
    while(son[x][0]) x=son[x][0];
    return x;
}//换根
void makeroot(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    rev1(x);
}
void link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    f[x]=y;
    access(x);
}
void cutf(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    f[son[x][0]]=0;
    son[x][0]=0;
    up(x);
}
void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    cutf(y);
}//分离
int ask(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y);
    return sum[y];
}//查询值
int find(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    int y=x;
    while(son[y][0]) y=son[y][0];
    return y;
}//判断连通性（类LCA）
int main()
{
    return 0;
}