[有向图强连通分量]

在有向图G中,如果两个 顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种!后续文章中将相继介绍,首先介绍Tarjan算法

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

算法伪代码如下

tarjan(u)
{ DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过 tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果节点v还在栈内 Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点 print v until (u== v) }

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求 有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。 在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

#include "cstdlib"
#include "cctype"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "cmath"
#include "algorithm"
#include "vector"
#include "string"
#include "iostream"
#include "sstream"
#include "set"
#include "queue"
#include "stack"
#include "fstream"
#include "strstream"
using namespace std; #define M 2000 //题目中可能的最大点数
int STACK[M],top=; //Tarjan 算法中的栈
bool InStack[M]; //检查是否在栈中
int DFN[M]; //深度优先搜索访问次序
int Low[M]; //能追溯到的最早的次序
int ComponetNumber=; //有向图强连通分量个数
int Index=; //索引号
vector <int> Edge[M]; //邻接表表示
vector <int> Component[M]; //获得强连通分量结果 void Tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=Low[i]=Index++;
InStack[i]=true;
STACK[++top]=i;
for (int e=;e<Edge[i].size();e++)
{
j=Edge[i][e];
if (DFN[j]==-)
{
Tarjan(j);
Low[i]=min(Low[i],Low[j]);
}
else if (InStack[j])
Low[i]=min(Low[i],DFN[j]);
}
if (DFN[i]==Low[i])
{
cout<<"TT "<<i<<" "<<Low[i]<<endl;
ComponetNumber++;
do
{
j=STACK[top--];
InStack[j]=false;
Component[ComponetNumber].push_back(j);
}
while (j!=i);
}
} void solve(int N) //此图中点的个数,注意是0-indexed!
{
memset(STACK,-,sizeof(STACK));
memset(InStack,,sizeof(InStack));
memset(DFN,-,sizeof(DFN));
memset(Low,-,sizeof(Low));
for(int i=;i<N;i++)
if(DFN[i]==-)
Tarjan(i);
}
/*
此算法正常工作的基础是图是0-indexed的。
*/
int main()
{
Edge[].push_back();Edge[].push_back();
Edge[].push_back();
Edge[].push_back();Edge[].push_back();
Edge[].push_back();Edge[].push_back();
Edge[].push_back();
int N=;
solve(N);
cout<<"ComponetNumber is "<<ComponetNumber<<endl;
for(int i=;i<N;i++)
cout<<Low[i]<<" ";
cout<<endl;
for(int i=;i<N;i++)
{
for(int j=;j<Component[i].size();j++)
cout<<Component[i][j];
cout<<endl;
}
return ;
}

这个程序的运行过程和上图中表述的有些不同,他是先遍历到了1 2 4 6  3 5

Reference : 以上基本上是全文摘抄自

http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/

http://www.notonlysuccess.com/?p=181

两篇总结都不错。。这里只是做一个回顾。。

转载来自:http://www.cppblog.com/sosi/archive/2010/09/26/127797.aspx

TarJan 算法求解有向连通图强连通分量的更多相关文章

  1. Tarjan算法打包总结(求强连通分量、割点和Tarjan-LCA)

    目录 Tarjan打包总结(求强连通分量.割点和Tarjan-LCA) 强连通分量&缩点 原理 伪代码 板子(C++) 割点 原理 伪代码 最近公共祖先(LCA) 原理 伪代码 板子 Tarj ...

  2. tarjan算法-解决有向图中求强连通分量的利器

    小引 看到这个名词-tarjan,大家首先想到的肯定是又是一个以外国人名字命名的算法.说实话真的是很佩服那些算法大牛们,佩服得简直是五体投地啊.今天就遇到一道与求解有向图中强连通分量的问题,我的思路就 ...

  3. tarjan算法+缩点:求强连通分量 POJ 2186

    强连通分量:1309. [HAOI2006]受欢迎的牛 ★★   输入文件:cow.in   输出文件:cow.out   简单对比时间限制:1 s   内存限制:128 MB [题目描述] 每一头牛 ...

  4. Tarjan算法求解无向连通图的割点、割边、点双连通分量和边双连通分量的模板

    历时好几天,终于完工了! 支持无向图四种功能:1.割点的求解 2.割边的求解 3.点双连通分量的求解 4.边双连通分量的求解 全部支持重边!!!!全部支持重边!!!!全部支持重边!!!! 测试数据: ...

  5. 图论之tarjan真乃神人也,强连通分量,割点,桥,双连通他都会

    先来%一下Robert Tarjan前辈 %%%%%%%%%%%%%%%%%% 然后是热情感谢下列并不止这些大佬的博客: 图连通性(一):Tarjan算法求解有向图强连通分量 图连通性(二):Tarj ...

  6. tarjan复习笔记 双连通分量,强连通分量

    声明:图自行参考割点和桥QVQ 双连通分量 如果一个无向连通图\(G=(V,E)\)中不存在割点(相对于这个图),则称它为点双连通图 如果一个无向连通图\(G=(V,E)\)中不存在割边(相对于这个图 ...

  7. 20行代码实现,使用Tarjan算法求解强连通分量

    今天是算法数据结构专题的第36篇文章,我们一起来继续聊聊强连通分量分解的算法. 在上一篇文章当中我们分享了强连通分量分解的一个经典算法Kosaraju算法,它的核心原理是通过将图翻转,以及两次递归来实 ...

  8. tarjan算法--求解无向图的割点和桥

    1.桥:是存在于无向图中的这样的一条边,如果去掉这一条边,那么整张无向图会分为两部分,这样的一条边称为桥 也就是说 无向连通图中,如果删除某边后,图变成不连通,则称该边为桥 2.割点:无向连通图中,如 ...

  9. Tarjan算法求解桥和边双连通分量(附POJ 3352 Road Construction解题报告)

     http://blog.csdn.net/geniusluzh/article/details/6619575 在说Tarjan算法解决桥和边双连通分量问题之前我们先来回顾一下Tarjan算法是如何 ...

随机推荐

  1. Linux各版本的本地root密码破解方法

    (一)RedHat/CentOS/Fedora 系统密码破解 1.在grub选项菜单按E进入编辑模式 2.编辑kernel 那行最后加上S (或者Single) 3.按B,启动到single-user ...

  2. 重构第27天 去除上帝类(Remove God Classes)

    理解:本文中的”去除上帝类”是指把一个看似功能很强且很难维护的类,按照职责把自己的属性或方法分派到各自的类中或分解成功能明确的类,从而去掉上帝类. 详解:我们经常可以在一些原来的代码中见到一些类明确违 ...

  3. 面向对象的JavaScript(2):类

    在小项目中对于JavaScript使用,只要写几个function就行了.但在大型项目中,尤其是在开发追求良好的用户体验的网站中,如SNS,就会 用到大量的JavaScrpt,有时JavaScript ...

  4. 重构if...else...或者switch程序块

    我们在开发asp.net时,经常有使用if...else...或者是使用switch来进行多个条件判断.如下面这篇<用户控件(UserControl) 使用事件 Ver2>http://w ...

  5. 安装jdk For Windows

    1.下载JDK查看最新:http://www.oracle.com/technetwork/java/javase/downloads/index.html根据操作系统选择合适的JDK进行下载2.运行 ...

  6. 剑指offer面试题30:最小的k个数

    一.题目描述 输入n个整数,找出其中最小的K个数.例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字,则最小的4个数字是1,2,3,4,. 二.解题思路 1.思路1 首先对数组进行排序,然后取出前k个数 ...

  7. Jquery Validation 多按钮,多表单,分组验证

    真正做到了 多按钮的验证. 在用户输入的时候就可以验证,而网上大部分多按钮验证都是必须要用户点击按钮后才可以验证. 研究了两天终于弄出来了,不知道两天是过长还是过段,现在分享给小伙伴们. 小伙伴们支持 ...

  8. edittext 监听内容变化

    给EditText追加ChangedListener可以监听EditText内容变化的监听 如图是效果图  类似于过滤的一种实现 1  布局也就是一个EditText,当EditText内容发生变化时 ...

  9. 关于spring配置文件properties的问题

    我遇到的问题是我将properties放在src下面的包中不能被spring扫描到,会报配置文件找不到的错误.但是如果放在src目录下就能够被spring扫描到,现在还不知道为什么这样,记个笔记,留到 ...

  10. 程序设计模式 —— State 状态模式

    我应该如何阅读? 本文将使用优雅的文字风格来告诉你什么是状态模式. 注意: 1.在阅读本文之前请保证你已经掌控了 面对对象的思想与 多态的基本概念,否则将难以理解. 2.本文实现将用C++实现,你不一 ...