[BZOJ 2007] [Noi2010] 海拔 【平面图最小割（对偶图最短路）】

题目链接：BZOJ - 2007

题目分析

首先，左上角的高度是 0 ，右下角的高度是 1。那么所有点的高度一定要在 0 与 1 之间。然而选取 [0, 1] 的任何一个实数，都可以用整数 0 或 1 来替换，获得同样的效果。

虽然输出的答案要求是四舍五入到整数，但其实答案就是一个整数！

那么高度就一定是 0 或 1 了，并且还有一点，所有选 0 的点都连通，所有选 1 的点都联通。因为如果一个选 0 的点被选 1 的点包围，那么它选 1 更优。

于是整个图中所有的点分成了与左上角相连的集合 A ，与右下角相连的集合 B 。从集合 A 向 B 的边权会计入答案。这就是最小割模型。

这是一个规则的平面图，平面图最小割等于对偶图最短路。

建立对偶图：

1）增加一条从 S 到 T 的边，成为 ST 边。这条边把原图中外围无限大的平面部分分割成了一个有限部分 S’ 和无限部分 T’。S’ 与 T’ 就是对偶图的起点和终点。

2）将平面的每个部分看做一个虚拟点，每条边对应一条连接虚拟点的边。但是 ST 边不对应对偶图中的边。

对偶图的一条最短路就对应了原图的一个最小割。

原图的每一条单向边对应对偶图的边的方向可以画个图帮助确定。可以看看从 S’ 到 T’ 的路径中哪些方向的边计入最小割答案，也应是最短路答案。

写 dijkstra ！卡 SPFA！

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
 
using namespace std;
 
const int MaxN = 500 + 5, INF = 999999999;
 
int n, S, T;
int Map[MaxN][MaxN][5], d[MaxN * MaxN];
 
bool Visit[MaxN * MaxN];
 
inline int Calc(int x, int y) {return (x - 1) * n + y;}
 
struct Edge
{
	int v, w;
	Edge *Next;
} E[MaxN * MaxN * 4], *P = E, *Point[MaxN * MaxN];
 
inline void AddEdge(int x, int y, int z) {
	++P; P -> v = y; P -> w = z;
	P -> Next = Point[x]; Point[x] = P;
}
 
struct ES
{
	int x, y;
	ES() {}
	ES(int a, int b) {
		x = a; y = b;
	}
};
 
struct Cmp
{
	bool operator () (ES e1, ES e2) {
		return e1.y > e2.y;
	}
};
 
priority_queue<ES, vector<ES>, Cmp> Q;
 
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	//Input data...
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			scanf("%d", &Map[i][j][0]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= n + 1; ++j)
			scanf("%d", &Map[i][j][1]);
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
		for (int j = 2; j <= n + 1; ++j)
			scanf("%d", &Map[i][j][2]);
	for (int i = 2; i <= n + 1; ++i)
		for (int j = 1; j <= n + 1; ++j)
			scanf("%d", &Map[i][j][3]);
	//Input done...
	S = n * n + 1; T = n * n + 2;
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n + 1; ++j) {
			if (j <= n) {
				if (i == 1) AddEdge(Calc(i, j), T, Map[i][j][0]);
				else if (i == n + 1) AddEdge(S, Calc(i - 1, j), Map[i][j][0]);
				else AddEdge(Calc(i, j), Calc(i - 1, j), Map[i][j][0]);
			}
			if (j > 1) {
				if (i == 1) AddEdge(T, Calc(i, j - 1), Map[i][j][2]);
				else if (i == n + 1) AddEdge(Calc(i - 1, j - 1), S, Map[i][j][2]);
				else AddEdge(Calc(i - 1, j - 1), Calc(i, j - 1), Map[i][j][2]);
			}
			if (i <= n) {
				if (j == 1) AddEdge(S, Calc(i, j), Map[i][j][1]);
				else if (j == n + 1) AddEdge(Calc(i, j - 1), T, Map[i][j][1]);
				else AddEdge(Calc(i, j - 1), Calc(i, j), Map[i][j][1]);
			}
			if (i > 1) {
				if (j == 1) AddEdge(Calc(i - 1, j), S, Map[i][j][3]);
				else if (j == n + 1) AddEdge(T, Calc(i - 1, j - 1), Map[i][j][3]);
				else AddEdge(Calc(i - 1, j), Calc(i - 1, j - 1), Map[i][j][3]);
			}
		}
	}
	//Build_Edge done...
	memset(Visit, 0, sizeof(Visit));
	for (int i = 1; i <= T; ++i) d[i] = INF;
	d[S] = 0;
	while (!Q.empty()) Q.pop();
	ES Now;
	for (int i = 1; i <= T; ++i) Q.push(ES(i, d[i]));
	while (!Q.empty()) {
		Now = Q.top(); Q.pop();
		if (Visit[Now.x]) continue;
		if (Now.x == T) break;
		Visit[Now.x] = true;
		for (Edge *j = Point[Now.x]; j; j = j -> Next) {
			if (d[Now.x] + j -> w < d[j -> v]) {
				d[j -> v] = d[Now.x] + j -> w;
				Q.push(ES(j -> v, d[j -> v]));
			}
		}
	}
	printf("%d\n", d[T]);
	return 0;
}