Java-动态规划-最多苹果数量的方法

平面上有N*M个格子，每个格子中放着一定数量的苹果。你从左上角的格子开始，每一步只能向下走或是向右走，每次走到一个格子上就把格子里的苹果收集起来，这样下去，你最多能收集到多少个苹果。

思路：

解这个问题与解其它的DP问题几乎没有什么两样。第一步找到问题的“状态”，第二步找到“状态转移方程”，然后基本上问题就解决了。

首先，我们要找到这个问题中的“状态”是什么？我们必须注意到的一点是，到达一个格子的方式最多只有两种：从左边来的(除了第一列)和从上边来的(除了第一行)。因此为了求出到达当前格子后最多能收集到多少个苹果，我们就要先去考察那些能到达当前这个格子的格子，到达它们最多能收集到多少个苹果。 (是不是有点绕，但这句话的本质其实是DP的关键：欲求问题的解，先要去求子问题的解)

经过上面的分析，很容易可以得出问题的状态和状态转移方程。状态S[i][j]表示我们走到(i, j)这个格子时，最多能收集到多少个苹果。那么，状态转移方程如下：

S[i][j]=A[i][j] + max(S[i-1][j],S[i][j-1])

方法1：常规方法，dp[i][j]数组保存当前路径下最多苹果个数，它是由MAX{dp[i-1][j] ,dp[i][j-1]} + a[i][j]。循环遍历，最后即可获取结果。但是我们需要额外考虑第0列、第0行这两个特殊情况，因为他们只有0种(i=0且j=0)或1种可能(i=0或j=0)。需要单独处理。代码如下：

public static void dp2(int a[][],int M,int N){
        int dp[][] = new int[M][N];
        int i=0,j=0;
        for ( i=0;i<M;i++){
            for ( j=0;j<N;j++){
                if (i==0&&j==0){//考虑顶点
                    dp[i][j] = a[i][j];
                    continue;
                }
                if (i==0){//考虑第一行
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + a[i][j];
                    continue;
                }
                if (j==0){//考虑第一列
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + a[i][j];
                    continue;
                }
                if (dp[i-1][j]>dp[i][j-1]){//状态转移
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + a[i][j];
                }else {
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + a[i][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[M-1][N-1]);

    }

方法二，增加两行两列，存储状态，如dp[i+1][j+1] 存储的是a[i][j]的状态，这样的话就不用考虑顶点和第一行第一列的特殊情况，因为dp[1][1]存储的是a[0][0]的路径状态信息，dp[1][3]存储的是a[0][2]的信息。这样代码就大大简化了，如下：

 public static void dp(int a[][],int M,int N){

        int dp[][] = new int[M+2][N+2];
        int i=0,j=0;
        for ( i=0;i<M;i++){
            for ( j=0;j<N;j++){
               if (dp[i+1][j]>dp[i][j+1]){
                   dp[i+1][j+1] = dp[i+1][j] + a[i][j];
               }else {
                   dp[i+1][j+1] = dp[i][j+1] + a[i][j];
               }
            }
        }
        System.out.println(dp[M][N]);
    }