NOIp知识集合 By cellur925
基本算法
- 快速幂
ll ksm(ll a,ll b)
{
ll ans=;
while(b)
{
if(b&) ans=ans*a%p;
b>>=;
a=a*a%p;
}
return ans;
}
ksm
- 64位大整数乘法
ll mul(ll a,ll b)
{
ll ans=;
while(b)
{
if(b&) ans=(ans+a)%p;
b>>=;
a=a*%p;
}
return ans;
}
mul
- 离散化
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
sort(b+,b++n);
int cnt=unique(b+,b++n)-(b+);
for(int i=;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+,b+cnt+,a[i])-b;
discrete
- 归并排序求逆序对
void mergesort(int l,int r)
{
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>;
mergesort(l,mid);
mergesort(mid+,r);
int i=l,j=mid+,k=l-;
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(a[i]<=a[j]) b[++k]=a[i],i++;
else b[++k]=a[j],j++,(ans+=mid-i+)%=moder;
}
while(i<=mid) b[++k]=a[i],i++;
while(j<=r) b[++k]=a[j],j++;
for(int qwq=l;qwq<=r;qwq++) a[qwq]=b[qwq];
}
mergesort
- 全排列
void dfs(int x)
{
for(int i=;i<=n;i++)
if(!vis[i])
{
seq[x]=i;
vis[i]=;
if(x==n) work();
else dfs(x+);
vis[i]=;
}
}
Permutation
- ST表
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath> using namespace std; int n,m;
int st[][]; int sta(int l,int r)
{
int k=log2(r-l+);
return max(st[l][k],st[r-(<<k)+][k]);
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&st[i][]);
for(int j=;j<=;j++)
for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
st[i][j]=max(st[i][j-],st[i+(<<(j-))][j-]);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int l=,r=;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",sta(l,r));
}
return ;
}
ST Table
- 两种二分
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid+;
}
while(l<r)
{
int mid=(l+r+)>>;
if(check(mid)) r=mid-;
else l=mid;
}
整数域二分
double eps=1e-;
while(l+eps<r)
{
double mid=(l+r)/;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid;
}
实数域二分
- 康拓展开及其求逆 推荐文章
void Recantor(ll x)
{
memset(vis,,sizeof(vis));
x--;
int j=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
ll t=x/fac[n-i];
for(j=;j<=n;j++)
if(!vis[j])
{
if(!t) break;
t--;
}
printf("%d ",j);
vis[j]=;
x%=fac[n-i];
}
printf("\n");
} ll cantor()
{
ll ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
int tot=;
for(int j=i+;j<=n;j++)
if(a[j]<a[i]) tot++;
ans+=1ll*tot*fac[n-i];
}
return ans;
}
Cantor&Recantor
其他算法
- 莫队算法（不带修）
bool cmp(query a,query b)
{
return (a.l/block)^(b.l/block) ? a.l<b.l : (((a.l/block)&) ? a.r<b.r : a.r>b.r);
}//奇偶块排序 block=sqrt(n);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&seq[i]);
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&ask[i].l,&ask[i].r);
ask[i].id=i;
ask[i].in=ask[i].l/block;
}
sort(ask+,ask++m,cmp);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int l=ask[i].l,r=ask[i].r;
while(posl<l) remove(posl++);
while(posr>r) remove(posr--);
while(posl>l) add(--posl);
while(posr<r) add(++posr);
ans[ask[i].id]=noww;
}
for(int i=;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
Mo's Algorithm
数学
- 预处理阶乘和处理逆元求组合数
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==)
{
x=;
y=;
return a;
}
int gu=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return gu; } ll niyuan(ll hu)
{
x=,y=;
ll tmp=exgcd(hu,p,x,y);
return (x+p)%p;
} ll C(ll k,ll m)
{
ll up=fac[k]%p;
ll down=fac[m]%p*fac[k-m]%p;
ll ans=up*niyuan(down)%p;
return ans;
} void pre()
{
fac[]=;
for(int i=;i<=n+;i++)
fac[i]=(ll)fac[i-]*i%p;
}
Combination
杨辉三角求组合数
C[][]=;C[][]=;
for(int i=;i<=n;i++) C[i][]=,C[i][i]=;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=i;j++)
(C[i][j]=C[i-][j]+C[i-][j-])%=moder;
Yang's triangle
数据结构
- $vector$实现普通平衡树 慎用！！！
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector> using namespace std; int n;
vector<int>v; int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
int op=,x=;
scanf("%d%d",&op,&x);
if(op==) v.insert(upper_bound(v.begin(),v.end(),x),x);
else if(op==) v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x));
else if(op==) printf("%d\n",lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+);
else if(op==) printf("%d\n",v[x-]);
else if(op==) printf("%d\n",*--lower_bound(v.begin(),v.end(),x));
else if(op==) printf("%d\n",*upper_bound(v.begin(),v.end(),x));
}
return ;
}
/*
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)
*/
Balanced Tree By vector
图论
- Floyd算法。复杂度$O(n^3)$
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=;i<=v;i++) dis[i][i]=,dis[][i]=;//这一步很重要
for(int i=;i<=e;i++)
{
int x=,y=,z=;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dis[x][y]=min(dis[x][y],z);
dis[y][x]=min(dis[y][x],z);
}
for(int kk=;kk<=v;kk++)
for(int i=;i<=v;i++)
for(int j=;j<=v;j++)
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][kk]+dis[kk][j]);
floyd
- Dijkstra+堆优化。复杂度$O(mlogn)$。稠密图优。好像不能用来跑最长路诶（
void dijkstra()
{
priority_queue<pair<int,int> >q;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[s]=;q.push(make_pair(,s));
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
q.push(make_pair(-dis[v],v));
}
}
}
}
Dijkstra+Heap
- spfa过世算法复杂度理解为$O(nm)$。但稀疏图$O(km)$。
void spfa()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
queue<int>q;
q.push(s),vis[s]=,dis[s]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=;
}
}
}
}
spfa
- 判断树上两路径是否相交
* 题目：LuoguP3398仓鼠找sugar / 计蒜客NOIP提高组模拟一试T2 敌对势力 / hihocoder 11D（题目找不到了==可以看这位dalao的博客）
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#define maxn 100090 using namespace std; int n,m,tot,t;
int head[maxn],d[maxn],f[maxn][];
struct node{
int to,next;
}edge[maxn*]; void add(int x,int y)
{
edge[++tot].to=y;
edge[tot].next=head[x];
head[x]=tot;
} void LCA_prework()
{
queue<int>q;
q.push();d[]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(d[v]) continue;
d[v]=d[u]+;
f[v][]=u;
for(int j=;j<=t;j++)
f[v][j]=f[f[v][j-]][j-];
q.push(v);
}
}
} int LCA(int x,int y)
{
if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
for(int i=t;i>=;i--)
if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
if(x==y) return x;
for(int i=t;i>=;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][];
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
t=log2(n)+;
for(int i=;i<=n-;i++)
{
int x=,y=;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);add(y,x);
}
LCA_prework();
for(int i=;i<=m;i++)
{
int a=,b=,c=,e=;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&e);
int Chemist=LCA(a,b);
int cellur=LCA(c,e);
if(Chemist==cellur)
{
printf("NO\n");
continue;
}
if(d[Chemist]>d[cellur])
{
if(LCA(Chemist,c)==Chemist||LCA(Chemist,e)==Chemist)
{
printf("NO\n");
continue;
}
else
{//没有相交输出yes
printf("YES\n");
continue;
}
}
else
{
if(LCA(cellur,a)==cellur||LCA(cellur,b)==cellur)
{
printf("NO\n");
continue;
}
else
{
printf("YES\n");
continue;
}
}
} return ;
}
- 最短路计数
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring> using namespace std;
typedef long long ll; int n,m,fake;
int vis[],dis[];
ll f[];
int e[][]; void spfa()
{
memset(dis,,sizeof(dis));
fake=dis[];
queue<int>q;
q.push();vis[]=;dis[]=;f[]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
vis[u]=;
if(u==n) continue;
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(dis[i]==dis[u]+e[u][i])
f[i]+=f[u];
if(dis[i]>dis[u]+e[u][i])
{
dis[i]=dis[u]+e[u][i];
f[i]=f[u];
}
if(f[i]&&!vis[i]) vis[i]=,q.push(i);
}
f[u]=;
}
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(e,,sizeof(e));
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=,y=,z=;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
e[x][y]=min(e[x][y],z);
}
spfa();
if(fake==dis[n]) printf("No answer");
else printf("%d %lld",dis[n],f[n]);
return ;
}
以上是过世算法$spfa$，现在我来为大家表演一下$dijkstra$。（搬运逛公园的30部分分）dij不用清空，非常优秀。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define maxn 100090 using namespace std;
typedef long long ll; int T,n,m,k,tot;
int head[maxn];
bool vis[maxn];
ll moder,f[maxn],dis[maxn];
struct node{
int to,next,val;
}edge[maxn<<]; void add(int x,int y,int z)
{
edge[++tot].to=y;
edge[tot].next=head[x];
head[x]=tot;
edge[tot].val=z;
} void Clear()
{
tot=;
memset(head,,sizeof(head));
memset(vis,,sizeof(vis));
memset(f,,sizeof(f));
} void dijkstra()
{
priority_queue<pair<ll,int> >q;
for(int i=;i<=n;i++) dis[i]=3e9;
q.push(make_pair(,));dis[]=;f[]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
q.push(make_pair(-dis[v],v));
(f[v]=f[u])%=moder;
}
else if(dis[v]==dis[u]+edge[i].val)
(f[v]+=f[u])%=moder;
}
}
} int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d%lld",&n,&m,&k,&moder);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=,y=,z=;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
dijkstra();
// if(dis[n]==3e9) printf("-1");
printf("%lld\n",f[n]);
//for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",dis[i]);
Clear();
}
return ;
}
Counting
- kruskal算法求最小生成树：基于边。比较好理解，先对所有边进行排序，用并查集维护联通关系。复杂度为$O(mlogm)$。（其实不用找到n-1条边就退出...）
/*
最小生成树Kruskal算法
快排权值+并查集看是否连通
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm> using namespace std; int n,m,cnt,ans;
int fa[];
struct node{
int f,t,w;
}edge[]; bool cmp(node a,node b)
{
return a.w<b.w;
} int getf(int x)
{
if(x==fa[x]) return x;
return fa[x]=getf(fa[x]);
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&edge[i].f,&edge[i].t,&edge[i].w);
for(int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
sort(edge+,edge++m,cmp);
for(int i=;i<=m;i++)
{
if(cnt==n-) break;
int pp=getf(edge[i].f);
int qq=getf(edge[i].t);
if(pp==qq) continue;
fa[qq]=pp;
cnt++;
ans+=edge[i].w;
}
if(cnt<n-) printf("orz");
else printf("%d\n",ans);
return ;
}
Kruskal
- Prim算法求最小生成树：基于点，逐步扩展。随便找一个点作为起点，设$dis$为添加了这个点需要增加的边权，然后每次在尚未被进入生成树的节点中寻找最小的$dis$，记录它的位置，这一次就把他加入生成树，并更新其他点的$dis$。复杂度$O(n^2)$。注意是否$vis$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 5090 using namespace std;
typedef long long ll; int n,m,tot;
ll ans;
int head[maxn],dis[maxn],vis[maxn];
struct node{
int to,next,val;
}edge[]; void add(int x,int y,int z)
{
edge[++tot].to=y;
edge[tot].next=head[x];
head[x]=tot;
edge[tot].val=z;
} void prim()
{
memset(dis,,sizeof(dis));
dis[]=;
for(int k=;k<=n;k++)
{
int u=-,sta=0x3f3f3f3f;
for(int i=;i<=n;i++)
if(dis[i]<sta&&!vis[i]) sta=dis[i],u=i;
if(u==-) {printf("orz\n");exit();}
ans+=dis[u];
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(vis[v]) continue;
dis[v]=min(dis[v],edge[i].val);
}
}
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=,y=,z=;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);add(y,x,z);
}
prim();
printf("%d\n",ans);
return ;
}
Prim
- 树的直径方法一：两遍bfs/dfs【不能处理有负权边情况】【记录路径】
int bfs(int x)
{
queue<int>q;
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(pre,,sizeof(pre));
fake=d[];
q.push(x);d[x]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(d[v]==fake) q.push(v),pre[v]=i,d[v]=d[u]+;
}
}
int top=x;
for(int i=;i<=n;i++)
if(d[i]>d[top]) top=i;
return top;
}
int get_d()
{
p=bfs();
p=bfs(p);
return d[p];
}
Tree's Diameter/BFS
- 树的直径方法二：树形dp
void Treedp(int u)
{
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(vis[v]) continue;
Treedp(v);
ans=max(ans,f[x]+f[y]+edge[i].val)
f[x]=max(f[x],f[y]+edge[i].val);
}
}
Tree's Diameter/Treedp
- 强连通分量/缩点（in有向图）
void tarjan(int u)
{
dfn[u]=low[u]=++dfs_clock;
st.push(u);
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(!dfn[v])
{
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(!scc[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u])
{
scc_cnt++;
while()
{
int x=st.top();st.pop();
scc[x]=scc_cnt;
if(x==u) break;
}
}
}
—————————————————————————————————————
for(int i=;i<=n;i++)//在主程序中
if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int x=;x<=n;x++)
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
{
int y=edge[i].to;
if(scc[x]!=scc[y])
ADD(scc[x],scc[y]);
}
tarjan1
树上倍增求LCA
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#define maxn 500090 using namespace std; int n,m,s,tot,t;
int d[maxn],head[maxn],f[maxn][];
struct node{
int to,next;
}edge[maxn<<]; void add(int x,int y)
{
edge[++tot].to=y;
edge[tot].next=head[x];
head[x]=tot;
} void init()
{
queue<int>q;
q.push(s);d[s]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(d[v]) continue;
d[v]=d[u]+;
f[v][]=u;
for(int j=;j<=t;j++)
f[v][j]=f[f[v][j-]][j-];
q.push(v);
}
}
} int lca(int x,int y)
{
if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
for(int i=t;i>=;i--)
if(d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=t;i>=;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][];
} int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
t=log2(n)+;
for(int i=;i<=n-;i++)
{
int x=,y=;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y),add(y,x);
}
init();
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=,y=;
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",lca(x,y));
}
return ;
}
LCA
字符串
- $trie$树
tot=;
void insert()
{
int p=;
int len=strlen(tmp+);
for(int i=;i<=len;i++)
{
int qwq=tmp[i]-'';
if(!trie[p][qwq]) trie[p][qwq]=++tot;
p=trie[p][qwq];
}
}
trie--insert
- 最小表示法
void work()
{
n=strlen(str+);ans=;
for(int i=;i<=n;i++) str[n+i]=str[i];
int i=,j=,k;
while(i<=n&&j<=n)
{
for(k=;k<=n&&str[i+k]==str[j+k];k++);
if(k>=n) break;
if(str[i+k]>str[j+k])
{i=i+k+;if(i==j) i++;}
else
{j=j+k+;if(i==j) j++;}
}
ans=min(i,j);
printf("%d\n",ans);
}
//注意数组开二倍+
Minimal Expression
其他技巧
- 编译命令：-Wshadow -Wconversion -Wextra / 打开wall警告开关
- 简单重载运算符：https://www.cnblogs.com/nopartyfoucaodong/p/9734314.html
- 更多有关$lowerbound$和$upperbound$：https://www.cnblogs.com/nopartyfoucaodong/p/9818967.html
- 生成数据前，一定要记得调用种子！！即（在挂文件后）
srand(time(NULL));
- 生成数据的批处理文件（$bat$）
@echo off
:loop rand.exe baoli.exe sol.exe fc baoli.out sol.out if not errorlevel goto loop pause goto loop
dp.bat
- 生成数据
int random(int lim)
{
return (unsigned long long)rand()*rand()%lim;
} 调用时：int x=random()+;
rand
看到小数据范围：暴搜 全排列 二进制枚举 状压
$O(n^3)$：考虑枚举区间？
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