欧拉函数

欧拉函数是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。

通式:φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。

对于质数p,φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质:

设a为N的质因数,

若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a;

若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有:E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

欧拉公式的延伸:一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. typedef long long LL;
  4. const LL mod=1e9+7;
  5. LL eluer(LL n)
  6. {
  7. LL res=n,a=n;
  8. for(LL i=2;i*i<=a;i++)
  9. {
  10. if(a%i==0)
  11. {
  12. res=res/i*(i-1);
  13. while(a%i==0)
  14. a/=i;
  15. }
  16. }
  17. if(a>1) res=res/a*(a-1);
  18. return res;
  19. }
  20. int main()
  21. {
  22. LL n,ans;
  23. while(~scanf("%lld",&n)&&n)
  24. {
  25. ans=n*(n+1)/2-n;
  26. ans=(ans-eluer(n)*n/2)%mod;
  27. printf("%lld\n",ans);
  28. }
  29. return 0;
  30. }

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