simpson法求积分 专题练习
【xsy1775】数值积分
题意
多组询问,求\(\int_l^r\sqrt{a(1-{x^2\over b})}dx\)
分析
double f(double x) {
return sqrt(a*(1-x*x/b));
}
double Get(double l,double r) {
return (r-l)*(f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))/6;
}
double Calc(double l,double r) {
double gx=Get(l,r);
double mid=(l+r)/2,gl=Get(l,mid),gr=Get(mid,r),gs=gl+gr;
if (!cmp(gx-gs))
return gs;
else {
double rl=Calc(l,mid),rr=Calc(mid,r),rs=rl+rr;
return rs;
}
}
【bzoj2178】圆的面积并
//...
int cmp(double x);
int n,flag[N];
struct Cir {
int x,y,r;
Cir(int _x=0,int _y=0,int _r=0) {
x=_x,y=_y,r=_r;
}
friend int operator < (Cir a,Cir b) {
return a.r<b.r;
}
}cir[N];
int tot;
struct Line {
double l,r;
Line(double _l=0,double _r=0) {
l=_l,r=_r;
}
friend int operator < (Line a,Line b) {
return cmp(a.l-b.l)<0;
}
}line[N];
double res;
//...
int cmp(double x) {
if (fabs(x)<EPS) return 0;
return x<0?-1:1;
}
int Contain(Cir a,Cir b) {
int dx=a.x-b.x,dy=a.y-b.y,dr=a.r-b.r;
return dx*dx+dy*dy<=dr*dr;
}
#define ld double
#define get f
#define F rep
#define p line
#define segment Line
#define eps EPS
#define a cir
#define inf 1e9
inline bool cmp2(segment a,segment b) {
return a.l<b.l;
}
inline ld get(ld x) {
int cnt=0;
F(i,1,n) if (cmp(fabs(x-a[i].x)-a[i].r)<=0) {
ld tmp=sqrt(pow(a[i].r,2)-pow(x-a[i].x,2));
if (!cmp(tmp)) continue;
p[++cnt]=(segment) {
a[i].y-tmp,a[i].y+tmp
};
}
sort(p+1,p+cnt+1,cmp2);
/*
ld h=-inf,ans=0;
F(i,1,cnt) {
if (h<p[i].l) ans+=p[i].r-p[i].l,h=p[i].r;
else if (h<p[i].r) ans+=p[i].r-h,h=p[i].r;
}
return ans;
*/
double totLen=0,mxp=MIN;
rep(i,1,cnt) {
// if (cmp(line[i].r-mxp)<=0) continue;
if (mxp<p[i].l/*cmp(line[i].l-mxp)>0*/)
totLen+=line[i].r-line[i].l,mxp=line[i].r;
else if (mxp<p[i].r/*cmp(mxp-p[i].r)<0*/)
totLen+=line[i].r-mxp,mxp=line[i].r;
// mxp=line[i].r;
}
return totLen;
}
#undef ld
#undef get
#undef F
#undef p
#undef segment
#undef eps
#undef a
#undef inf
double Get(double l,double r) {
return (r-l)*(f(l)/6+f(r)/6+f((l+r)/2)*2/3);
}
double Calc(double l,double r) {
double gx=Get(l,r);
double mid=(l+r)/2;
double gl=Get(l,mid);
double gr=Get(mid,r);
double gs=gl+gr;
if (!cmp(gx-gs))
return gs;
else {
double rl=Calc(l,mid);
double rr=Calc(mid,r);
double rs=rl+rr;
return rs;
}
}
int main(void) {
//...
sort(cir+1,cir+n+1);
rep(i,1,n) rep(j,i+1,n)
if (Contain(cir[j],cir[i])) {
flag[i]=1;
break;
}
int cur=0;
rep(i,1,n) if (!flag[i])
cir[++cur]=cir[i];
n=cur;
res=Calc(L,R);
printf("%.3lf\n",res);
//...
}
小结
对于这类求面积的问题,意味着它满足连续性,可以使用积分来求解。
【hdu1724】Ellipse
double f(double x) {
double y2=(1-pow(x,2)/pow(a,2))*pow(b,2);
if (cmp(y2)<0) return 0; else return 2*sqrt(y2);
}
double Get(double l,double r) {
return (r-l)*(f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))/6;
}
double Calc(double l,double r) {
double mid=(l+r)/2;
double gl=Get(l,mid);
double gr=Get(mid,r);
double gs=Get(l,r);
if (!cmp(gs-(gl+gr)))
return gl+gr;
else {
double rl=Calc(l,mid);
double rr=Calc(mid,r);
return rl+rr;
}
}
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