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invariant theory

一组几何元素由 k个参数组成的向量 P1表示.若 T为某一变换,T∈G , G为某一变换群,这组几何元素经 T变换后,其参数组成的向量由 P1变为 P2(P1,P2 均为 k维向量),如果 I(P1)=I(TP1)=I(P2),则称函数 I(P)为在变换群 G下的不变量。
由定义可见, I(P)为由参数计算出来的标量,可以是实数或复数,而且只要变换T属于同一变换群 G,则I(P)与变换T的具体参数无关。
 
 

不变量的定义

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由几何学知道,射影变换保持直线、直线与点的结合性以及直线上点列的交比不变,仿射变换除具有以上不变性还保持了直线的平行性,直线上点列的简比不变。欧氏变换除具有仿射不变性外还保持两条直线的夹角不变,任意两点的距离不变。这些不变量都是由一些几何元素的参数计算出来的量,如由点的坐标计算出两点的距离等。
不变量的数学定义:一组几何元素由

  

个参数组成的向量

  

表示.若

  

为某一变换,

  

  

为某一变换群,这组几何元素经

  

变换后,其参数组成的向量由

  

变为

  

(

  

均为

  

维向量),如果

  

,则称函数

 

为在变换群

  

下的不变量。

由定义可见,

  

为由参数计算出来的标量,可以是实数或复数,而且只要变换

  

属于同一变换群

  

,则

  

与变换

 

的具体参数无关。 [2]

 
 

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