【做题】NOWCODER142A Ternary String——数列&欧拉定理

题意：你有一个长度为\(n\)，且仅由012构成的字符串。每经过一秒，这个字符串所有1后面会插入一个0，所有2后面会插入一个1，然后会删除第一个元素。求这个字符串需要多少秒变为空串，对\(10^9+7\)取模。

\(n \leq 10^5\)

显然这个答案是可以从左往右维护当前已经经过的时间，一位位算过来的。

设当前已经经过了\(n\)秒，那么，容易得到再删除下一个0需要1秒，再删除下一个1需要\(n+2\)秒。然而若下一个元素为2，似乎并不好处理。但至少我们能得到一个\(O(n)\)的算法：

int func1(int n) { // 删除1所需时间
  return n + 2;
}
int func2(int n) {
  int ret = 0;
  for (int k = 0 ; k <= n ; ++ k) // 统计删除这个2所产生的1的时间
    ret = ret + func1(ret) + k;
  ret = ret + 1; // 删除这个2还要1秒
  return ret;
}

于是，我们设数列\({a_n}\)表示\(n\)后删除一个2的时间是\(a_n+1\)，那么，我们能得到\(a_n = 2a_{n-1} + n + 2\)。那么，我们就能求出其通项式\(a_n = 6 \times 2^n - n - 4\)。

因此，删除下一个2需要\(6 \times 2^n - n - 3\)秒。

到这里问题还没有解决，因为\(n\)在指数里面。这样，如果我们要求答案对\(10^9+7\)取模的值，就要求答案对\(\phi(10^9+7)\)取模的值。而当模数\(p\)与\(2\)不互质时，可以参考bzoj3884的做法，令\(p=2^k q\)，其中\(gcd(2,q)=1\)，那么我们有\(2^n \mod p = 2^k (2 ^{n-k} \mod q) = 2^k (2^{n-k \mod \phi(q)})\)。于是我们就可以缩小模数，一直到1。因为所有不等于\(1\)的\(q\)都有\(2 | \phi (q)\)，所以除第一个外所有\(p\)都是偶数，则\(\phi(q) \leq q \leq \frac {p} {2}\)。因此我们只要对\(O(\log n)\)个答案求解。

实现时还要考虑\(n < k\)的情况，特判一下就可以了。

时间复杂度\(O(n \log^2 n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 100010, MAX = 40000, MOD = (int)(1e9 + 7);
char s[N];
int n,isp[MAX + 10],pri[MAX],pcnt,val[N],nex[N],sta[N],top,rel[N];
int getphi(int x) {
  int ret = x;
  for (int i = 1 ; pri[i] * pri[i] <= x ; ++ i) {
    if (x % pri[i] == 0) {
      ret /= pri[i];
      ret *= pri[i] - 1;
      while (x % pri[i] == 0) x /= pri[i];
    }
  }
  if (x != 1) ret = ret / x * (x-1);
  return ret;
}
int power(int a,int b,int mod) {
  int ret = 1;
  while (b) {
    if (b&1) ret = 1ll * ret * a % mod;
    a = 1ll * a * a % mod;
    b >>= 1;
  }
  return ret;
}
void prework() {
  for (int i = 2 ; i <= MAX ; ++ i) {
    if (!isp[i]) pri[++pcnt] = i;
    for (int j = 1 ; j <= pcnt && pri[j] * i <= MAX ; ++ j) {
      isp[pri[j] * i] = 1;
      if (i % pri[j] == 0) break;
    }
  }
  for (int cur = MOD ; ; ) {
    sta[++top] = cur;
    if (cur == 1) break;
    while ((cur&1) == 0) cur >>= 1;
    cur = getphi(cur);
  }
}
signed main() {
  int T;
  prework();
  scanf("%lld",&T);
  while (T --) {
    scanf("%s",s+1);
    n = strlen(s+1);
    for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
      val[i] = 0;
    rel[0] = 0;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) rel[i] = -1;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
      if (s[i] == '0') rel[i] = rel[i-1] + 1;
      if (s[i] == '1') rel[i] = 2 * (rel[i-1] + 1);
      if (s[i] == '2') rel[i] = 6 * power(2,rel[i-1],MOD) - 3;
      if (rel[i] >= 20) {
        rel[i] = -1;
        break;
      }
    }
    for (int i = top - 1 ; i >= 1 ; -- i) {
      int y = sta[i], x = 1, k = 0;
      while ((y&1) == 0) x <<= 1, k ++, y >>= 1;
      for (int j = 1 ; j <= n ; ++ j) {
        if (s[j] == '0') nex[j] = 1;
        else if (s[j] == '1') nex[j] = (nex[j-1] + 2) % sta[i];
        else {
          if (rel[j-1] != -1) nex[j] = (6 * power(2,rel[j-1],sta[i]) - nex[j-1] - 3) % sta[i];
          else nex[j] = ((x * power(2,((val[j-1] - k) % sta[i+1] + sta[i+1]) % sta[i+1],y)) * 6 - nex[j-1] - 3) % sta[i];
        }
        nex[j] = (nex[j-1] + nex[j]) % sta[i];
      }
      for (int j = 0 ; j <= n ; ++ j)
				val[j] = (nex[j] % sta[i] + sta[i]) % sta[i];
    }
    printf("%lld\n",val[n]);
  }
  return 0;
}

小结：本题无非不是两个部分，一是数列求解，二是处理指数。关键还是在于清晰的思路。