第九集,结束亦是开始

题意:

大致意思就是给你n个3进制的数字,让你计算有多少对数字的哈夫曼距离等于i(0<=i<=2^m)

思路:

这个是一个防ak题,做法是要手推公式的fwt

大概就这个意思

把n个数字标记到大小为3^m的数组里

然后一个简单的方法就是,假设a是标记数组

for i=0 i<3^m i++

for j=0 j<3^m j++

ans[dis(a[i],a[j])]+=a[i]*a[j]

可能i==j的时候被算重复了,大概特判减去一下n就行了

我们发现,如果dis(a[i],a[j])是位运算就好了,这样就直接拍个fwt就行了

然后我们注意到dis(a[i],a[j])其实可以看成是一个三进制的位运算,这时候我们要推一下公式

我们定义一下位运算法则假设符号为*,则i*j=abs(i-j),且i,j∈[0,2]

给出我当时推导的过程:

a=0+2

b=0-2

c=1

d=0+1+2

C0=(a*a+b*b)/2+c*c

C1=d*d-C0-C2

C2=(a*a-b*b)/2

大概就是把一个长度为n的多项式乘法变成了4个长度为n/3的多项式乘法

0,1,2是卷积前,最高位三进制为0,1,2的三个长度为n/3的多项式

然后我们构造a,b,c,d四个长度为n/3的多项式

C0,C1,C2是卷积后的多项式

这时候我们只需要计算a*a,b*b,c*c,d*d就行了!

至于怎么构造出来a,b,c,d的,可能就看感觉了吧。。。。。。

然后分析一下复杂度

然后就看出来这是一个公比为4/3的等比数列,求和一下就知道T(m)=4^m-3^m

时间复杂度为O(m)=4^m

代码实现

  1. #include<stdio.h>
  2. #include<algorithm>
  3. using namespace std;
  4. typedef long long ll;
  5. const int maxn = ;
  6. ll pool[/+],*p=pool;
  7. ll ans[];
  8. ll A[maxn];
  9. /*
  10. a=0+2
  11. b=0-2
  12. c=1
  13. d=0+1+2
  14. C0=(a*a+b*b)/2+c*c
  15. C1=d*d-C0-C2
  16. C2=(a*a-b*b)/2
  17. */
  18. void fwt(ll *A,int len){
  19. if(len==){
  20. A[]=A[]*A[];
  21. return ;
  22. }
  23. int nlen=len/;
  24. ll *a=p;
  25. p+=nlen;
  26. ll *b=A;
  27. ll *c=A+nlen;
  28. ll *d=A+nlen*;
  29. for(int i=;i<nlen;i++){
  30. ll x=A[i],y=A[i+nlen],z=A[i+*nlen];
  31. a[i]=x+z;
  32. b[i]=x-z;
  33. c[i]=y;
  34. d[i]=x+y+z;
  35. }
  36. fwt(a,nlen);fwt(b,nlen);
  37. fwt(c,nlen);fwt(d,nlen);
  38. for(int i=;i<nlen;i++){
  39. ll x=a[i],y=b[i],z=c[i],w=d[i];
  40. A[i]=(x+y)/+z;
  41. A[i+nlen*]=(x-y)/;
  42. A[i+nlen]=w-A[i+nlen*]-A[i];
  43. }
  44. }
  45.  
  46. int cal(int x){
  47. int res=;
  48. while(x){
  49. res+=x%;
  50. x/=;
  51. }
  52. return res;
  53. }
  54.  
  55. int main(){
  56. int n,m;
  57. scanf("%d%d",&n,&m);
  58. for(int i=,x;i<=n;i++){
  59. scanf("%d",&x);
  60. A[x]++;
  61. }
  62. int len=;
  63. for(int i=;i<=m;i++)
  64. len*=;
  65. fwt(A,len);
  66. for(int i=;i<len;i++)
  67. ans[cal(i)]+=A[i];
  68. ans[]-=n;
  69. for(int i=;i<=m*;i++){
  70. if(i)putchar(' ');
  71. printf("%lld",ans[i]);
  72. }puts("");
  73. return ;
  74. }

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