Luogu 1559 运动员最佳匹配问题（带权二分图最大匹配）

Luogu 1559 运动员最佳匹配问题（带权二分图最大匹配）

Description

羽毛球队有男女运动员各n人。给定2 个n×n矩阵P和Q。P[i][j]是男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的男运动员竞赛优势；Q[i][j]是女运动员i和男运动员j配合的女运动员竞赛优势。由于技术配合和心理状态等各种因素影响，P[i][j]不一定等于Q[j][i]。男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的男女双方竞赛优势为P[i][j]*Q[j][i]。设计一个算法，计算男女运动员最佳配对法，使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。

Input

第一行有1 个正整数n (1≤n≤20)。接下来的2n行，每行n个数。前n行是p，后n行是q。

Output

将计算出的男女双方竞赛优势的总和的最大值输出。

Sample Input

3

10 2 3

2 3 4

3 4 5

2 2 2

3 5 3

4 5 1

Sample Output

52

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1559#sub

Source

带权二分图的最大匹配

解决思路

这个题目是一道带权二分图最大匹配的题目，我们要用到的就是KM算法。

那么什么是KM算法呢？

通俗点来讲，KM算法就是给匈牙利算法提供一张图，让后者去匹配。

KM算法是基于贪心的思想，选取权值最大的边建图，然后让匈牙利算法去判断其可行性。

我们知道，匈牙利算法的关键就是“让”出边来匹配，那么KM算法的关键就是如何建出这张图。

接下来我们结合代码来看一看。

首先我们对代码中的变量进行一下说明，我们定义二分图的左边这一组为

X，右边一组为Y。定义use_left,use_right分别标记左边或右边的点是否标记，同时标记其是否在增广路中。定义Wx,Wy分别为左边和右边的顶标这是KM算法的关键之处。这个顶标是用来干嘛的呢？这就是用来判断某一条边是否在我们定义的图中的。我们定义只有满足Wx[i]+Wy[j]==W[i][j]的这样一条边i->j才在图中存在。所以初始化的时候，Wx[i]置为从i出发的最大边的权值，而Wy[j]置为0。这就相当于把i->j这条边加入图中。

对于每一个左边的点i，我们首先对其跑一边匈牙利算法，如果发现无法匹配，则进行下面的操作。从剩余的边中选一条出发点i已标记而到达点j未标记（标记操作在匈牙利算法中实现），并满足Wx[i]+Wy[j]-W[i][j]最小。选择这条边，然后把所有已标记的左边的点的Wx加上W[i][j]，而右边的已标记的点的Wy分别减去W[i][j]。这相当于把i->j这条边加入到我们要判断的图中，并且原来图中有的边不变。（仔细想一想，结合我们判断某条边是否在图中的方法：Wx[i]+Wy[j]==W[i][j]）

推荐一篇关于二分图匹配的KM算法的文章：http://www.cnblogs.com/Lanly/p/6291214.html

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

class EDGE
{
public:
    int v,w;
};

const int maxN=30;
const int inf=2147483647;

int n;
vector<EDGE> E[maxN];//存二分图的边
int Match[maxN];//存右边匹配的左点编号
bool use_left[maxN];//判断是否访问，一是避免重复，二十判断是否在增广路上，以便后面加边
bool use_right[maxN];
int Wx[maxN];//两边的顶标
int Wy[maxN];

int read();
bool Hungary(int u);

int main()
{
    int P[maxN][maxN];
    int Q[maxN][maxN];
    mem(Match,-1);
    mem(Wy,0);
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            P[i][j]=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            Q[i][j]=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int D=-inf;//初始化左边的顶标
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            E[i].push_back((EDGE){j,P[i][j]*Q[j][i]});
            D=max(D,P[i][j]*Q[j][i]);//预处理出Wx
        }
        Wx[i]=D;
        Wy[i]=0;
    }

    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        do
        {
            mem(use_left,0);
            mem(use_right,0);
            if (Hungary(i))
                break;
            int D=inf;
            for (int j=1;j<=n;j++)
                if (use_left[j]==1)
                {
                    for (int k=0;k<E[j].size();k++)
                    {
                        int v=E[j][k].v;
                        int w=E[j][k].w;
                        if (use_right[v]==0)
                        {
                            D=min(D,Wx[j]+Wy[v]-w);
                        }
                    }
                }
            for (int j=1;j<=n;j++)
                if (use_left[j])
                    Wx[j]=Wx[j]-D;
            for (int j=1;j<=n;j++)
                if (use_right[j])
                    Wy[j]=Wy[j]+D;
        }
        while (1);
    }
    int Ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<E[Match[i]].size();j++)
        {
            if (E[Match[i]][j].v==i)
            {
                Ans+=E[Match[i]][j].w;
                break;
            }
        }
    cout<<Ans<<endl;
    return 0;
}

int read()//读入优化
{
    int x=0;
    int k=1;
    char ch=getchar();
    while (((ch>'9')||(ch<'0'))&&(ch!='-'))
        ch=getchar();
    if (ch=='-')
    {
        k=-1;
        ch=getchar();
    }
    while ((ch<='9')&&(ch>='0'))
    {
        x=x*10+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x*k;
}

bool Hungary(int u)//匈牙利算法判断
{
    use_left[u]=1;
    for (int i=0;i<E[u].size();i++)
    {
        int v=E[u][i].v;
        if ((use_right[v]==0)&&(Wx[u]+Wy[v]==E[u][i].w))
        {
            use_right[v]=1;
            if ((Match[v]==-1) || (Hungary(Match[v])) )
                {
                    Match[v]=u;
                    return 1;
                }
        }
    }
    return 0;
}