洛谷 P3287 - [SCOI2014]方伯伯的玉米田（BIT 优化 DP）

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怎么题解区全是 2log 的做法/jk，这里提供一种 1log 并且代码更短（bushi）的做法。

首先考虑对于一个序列 \(a\) 怎样计算将其变成单调不降的最小代价。对于这类涉及区间操作问题，果断往差分序列方向想，我们记 \(d_i=a_i-a_{i+1}\)，那么我们肯定会想将所有 \(d\) 都变成非正的，而一次操作肯定会将某个 \(d_i\) 减 \(1\)，并选择将某个 \(d_i\) 加 \(1\)（当然也可以不操作）。加一肯定是不优的，因此我们每次肯定会选择最右边的元素作为右端点避免加一操作。因此将序列 \(d\) 变成非正的代价就是 \(\sum\max(d_i,0)\)。

接下来就可以考虑 DP 了。我们设 \(dp_{i,j}\) 表示序列最后一个元素是 \(a_i\)，当前 \(\sum\max(d_i,0)=j\) 最多保留了多少株玉米。那么有转移 \(dp_{i,j}=\max\limits_{l<i}dp_{l,j-\max(a_l-a_j,0)}+1\)。直接转移是 \(n^2k\) 的。不过注意到这题的值域很小，因此考虑将 \(\max\) 然后 BIT 处理偏序关系，具体来说，如果 \(a_l<a_j\)，那么 \(dp_{l,j}+1\to dp_{i,j}\)，我们就建立 \(k\) 个树状数组，第 \(j\) 个下标为 \(t\) 的位置维护 \(a_l=t\) 的 \(l\) 中 \(dp_{l,j}\) 的最大值，那么这一类转移就在第 \(j\) 个树状数组中取一遍前缀 \(\max\) 即可。如果 \(a_l\ge a_j\)，那么 \(dp_{l,j-a_l+a_j}+1\to dp_{l,j}\)。不难发现这一类 DP 转移来的 \(dp_{l,t}\) 一定有 \(t+a_l=j+a_i\)，于是我们建立 \(5500\) 个 BIT，第 \(i\) 个下标为 \(j\) 的位置维护 \(t+a_l=i,a_l=j\) 的 \(dp_{l,t}\) 的最大值，这样这一类 DP 转移即可写成后缀和的形式，也可 BIT 维护。

复杂度 \(nk\log n\)。

const int MAXN=10000;
const int MAXK=500;
const int MAXV=5000;
int n,k,a[MAXN+5];
struct fenwick{
	int t[MAXV+5];
	void add(int x,int v){for(int i=x;i<=MAXV;i+=(i&(-i))) chkmax(t[i],v);}
	int query(int x){int ret=0;for(int i=x;i;i&=(i-1)) chkmax(ret,t[i]);return ret;}
} t1[MAXK+MAXV+5],t2[MAXV+5];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=k;j++){
			int val=max(t1[j+a[i]].query(MAXV-a[i]+1),t2[j].query(a[i]))+1;
			t1[j+a[i]].add(MAXV-a[i]+1,val);t2[j].add(a[i],val);chkmax(res,val);
		}
	} printf("%d\n",res);
	return 0;
}