【剑指Offer】变态跳台阶 解题报告（Python）

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题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题方法

数学归纳法可以得出这个题的结果是2的n-1次方。

来自牛客网的回答：

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387
来源：牛客网

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

1. n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

2. n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

   那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

   因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

3. n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：

   f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

4. 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

   f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

   f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

   可以得出：

f(n) = 2*f(n-1)

1. 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

              | 1       ,(n=0 ) 
   
    f(n) =    | 1       ,(n=1 )
   
              | 2*f(n-1),(n>=2)
   

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        return 1 << (number - 1)

日期

2018 年 3 月 9 日