[hdu7022]Jsljgame

先考虑$x=y$的情况，此时即是一个平等博弈，因此考虑$sg$函数

具体的，有$sg(n)=\begin{cases}0&(n=0)\\mex(\{sg(n-i)\mid 1\le i\le n,i\ne x\})&(n\ge 1)\end{cases}$，简单计算$sg(n)$的前几项，不难发现规律$sg(n)=\lfloor\frac{n}{2x}\rfloor x+n\ mod\ x$，进而将其异或即可

（若异或和为0则先手必败，否则先手必胜）

接下来，不妨假设$x>y$且$a_{1}\le a_{2}\le ...\le a_{n}$，此时再分类讨论：

1.若$a_{n}<y$，显然限制没有意义，仍是一个平等博弈，并且有$sg(n)=n$

2.若$a_{n}\ge y$，此时先手必胜，证明如下——

对其进行归纳（$n$和$\{a_{i}\}$的字典序），并对此分类讨论：

1.若$n=1$或$a_{n-1}<y$，则总存在$(i,z)$满足$1\le i\le n$且$0\le z<a_{i}$，使得若$a_{i}=z$则$\bigoplus_{i=1}^{n}a_{i}=0$，那么再对$(i,z)$分类讨论——

a.若$1\le i<n$或$i=n$且$z\ne a_{n}-x$，那么将第$i$堆取到$z$个

b.若$i=n$且$z=a_{n}-x$，那么将第$n$堆取到$z+y$个

不论是哪一种情况，后手操作后若$a_{n}\ge y$由归纳假设先手必胜，否则必然异或和非0（第一种情况异或和初始为0且必然变化，第二种情况只能在第$n$堆中取$y$个）同样先手必胜

2.若$n\ge 2$且$a_{n-1}\ge y$，再分类讨论：

a.若$n\ge 3$或$a_{n}>y$，那么先手只需要在第$n-2$或第$n$堆中取一个，后手不可能同时使$a_{n-1},a_{n}<y$，那么由归纳假设先手必胜

b.若$n=2$且$a_{n}=y(=a_{n-1})$，那么先手只需要取完第$n-1$堆，之后后手不能取完第$n$堆，后手操作后先手再取完第$n$堆即可

类似地，对于$x<y$的情况，再分类讨论：

1.若$a_{n}<x$，同样为$sg(n)=n$的平等博弈

2.若$a_{n}\ge x$，此时先手操作后必然要使$\max_{i=1}^{n}a_{i}<x$（否则由之前的结论后手必胜），那么也即是要$n=1$或$a_{n-1}<x$，进而要保证异或和为0，即要求$S<x$且$S\ne a_{n}-x$（其中$S=\bigoplus_{i=1}^{n-1}a_{i}$）

综上，时间复杂度为$o(n\log n)$（排序），可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 1005
 4 int t,n,x,y,ans,a[N];
 5 int main(){
 6     scanf("%d",&t);
 7     while (t--){
 8         scanf("%d%d%d",&n,&x,&y);
 9         for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
10         ans=0;
11         if (x==y){
12             for(int i=1;i<=n;i++)ans^=a[i]/(x<<1)*x+a[i]%x;
13             if (ans)printf("Jslj\n");
14             else printf("yygqPenguin\n");
15             continue;
16         }
17         sort(a+1,a+n+1);
18         if (a[n]<min(x,y)){
19             for(int i=1;i<=n;i++)ans^=a[i];
20             if (ans)printf("Jslj\n");
21             else printf("yygqPenguin\n");
22             continue;
23         }
24         if (x>y)printf("Jslj\n");
25         else{
26             if ((n==1)||(a[n-1]<x)){
27                 for(int i=1;i<n;i++)ans^=a[i];
28                 if ((ans<x)&&(ans!=a[n]-x))printf("Jslj\n");
29                 else printf("yygqPenguin\n");
30             }
31             else printf("yygqPenguin\n");
32         }
33     }
34     return 0;
35 }