P7099-[yLOI2020]灼【数学期望,结论】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7099

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题目大意

给出\(n\)个坐标轴上的点，\(q\)次询问从某点出发每次等概率向左或者向右一格求到达某个给出点的期望步数。

保证每个询问点左右都有目标点

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq q\leq 5\times 10^6,1\leq x_i,y_i\leq 10^9\)

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解题思路

每个询问具体分析，离左边点的距离为\(l\)，右边点的距离为\(r\)

设\(f_i\)表示从\(i\)出发到达终点的期望距离，那么有

\[f_i=\frac{f_{i-1}+f_{i+1}}{2}+1
\]

然后\(f_{-l}=f_r=0\)然后求\(f_0\)。

然后拆出来

\[2f_i=f_{i-1}+f_{i+1}+2
\]

\[(f_{i+1}-f_{i})-(f_{i}-f_{i-1})=-2
\]

也就是\(f\)数组两次差分是一个常数，所以说\(f\)可以被表示成一个二次函数，设\(f_x=ax^2+bx+c\)，那么\(f'_x=f_{x}-f_{x-1}=2ax-a+b\)，然后\(f''_x=f'_{x}-f'_{x-1}=2a=-2\)，所以\(f_x=-x^2+bx+c\)。

因为知道零点\(\left\{\begin{matrix}-(-l)^2+b(-l)+c=0\\-r^2+br+c=0\end{matrix}\right.\)，所以解出来\(\left\{\begin{matrix}b=r-l\\c=l\times r\end{matrix}\right.\)

所以其实答案就是\(l\times r\)

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=1e5+10,P=998244353;
int T,n,q,a[N];
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
int main()
{
	T=read();n=read();q=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	sort(a+1,a+1+n);
	int k=1,p1=0,p2=0,p3=0,p4=2147483647;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int x=read();
		while(k<n&&a[k]<x)k++;
		int ans=1ll*(a[k]-x)*(x-a[k-1])%P;
		p1^=ans;p2+=(ans&1);
		p3=max(p3,ans);p4=min(p4,ans);
	}
	printf("%d\n%d\n%d\n%d",p1,p2,p3,p4);
	return 0;
}