P4180-[BJWC2010]严格次小生成树【Kruskal,倍增】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4180

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题目大意

\(n\)个点\(m\)条边的一张无向图，求它的严格次小生成树。

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 3\times 10^5\)

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解题思路

一定存在一种严格次小生成树和最小生成树只差一条边，感性理解的话大概就是如果有两条不同那么肯定有一条可以替换成另一条要么更优要么不变。

所以我们可以枚举一条不选的边\((u,v,w)\)然后找到最小生成树上\(u,v\)路径最大的权值\(k\)替换。

但是发现有可能恰好\(w=k\)，所以我们不只需要统计最大的权值，还要统计一个严格次大的，如果等于就选择严格次大的。

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,T=18;
struct enode{
	ll x,y,w,v;
}e[3*N];
struct node{
	ll to,next,w;
}a[N<<1];
ll n,m,tot,ls[N],fa[N],dep[N];
ll ans,sum,f[N][T],g[N][T][2];
bool cmp(enode x,enode y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
void addl(ll x,ll y,ll w){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;a[tot].w=w;
	return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		f[y][0]=x;g[y][0][0]=a[i].w;
		dfs(y,x);
	}
	return;
}
void calc(ll &mx,ll &mi,ll x){
	if(x>mx)mi=mx,mx=x;
	else if(x>mi&&x!=mx)mi=x;
	return;
}
void calccc(ll x,ll y,ll w){
	if(x==y)return;
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	ll mx=-1,mi=-1;
	for(ll i=T-1;i>=0;i--)
		if(dep[f[y][i]]>=dep[x]){
			calc(mx,mi,g[y][i][0]);
			calc(mx,mi,g[y][i][1]);
			y=f[y][i];
		}
	if(x!=y){
		for(ll i=T-1;i>=0;i--)
			if(f[x][i]!=f[y][i]){
				calc(mx,mi,g[x][i][0]);
				calc(mx,mi,g[x][i][1]);
				calc(mx,mi,g[y][i][0]);
				calc(mx,mi,g[y][i][1]);
				x=f[x][i];y=f[y][i];
			}
		calc(mx,mi,g[x][0][0]);
		calc(mx,mi,g[x][0][1]);
		calc(mx,mi,g[y][0][0]);
		calc(mx,mi,g[y][0][1]);
	}
	if(w!=mx)ans=min(ans,sum+w-mx);
	else if(mi>=0)ans=min(ans,sum+w-mi);
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		scanf("%lld%lld%lld",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x==y)continue;
		addl(e[i].x,e[i].y,e[i].w);
		addl(e[i].y,e[i].x,e[i].w);
		fa[x]=y;e[i].v=1;sum+=e[i].w;
	}
	memset(g,-1,sizeof(g));
	dfs(1,1);
	for(ll j=1;j<T;j++)
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[i][j-1][0]);
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[i][j-1][1]);
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[f[i][j-1]][j-1][0]);
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[f[i][j-1]][j-1][1]);
		}
	ans=1e18;
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		if(!e[i].v)calccc(e[i].x,e[i].y,e[i].w);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}