[USACO08JAN]Telephone Lines
题意概括一下,就是在无向图上求一条1到n的路径,使路径上第k + 1大的边权尽量小。
考虑dp,令dp[i][j] 表示走到节点 i,路线上有 j 条电话线免费时,路径上最贵的电缆花费最小是多少。则对于一条从u到v,长度为w的边,转移方程是:
1.这条电缆要付费:dp[v][p] = min(dp[v][p], max(dp[u][p], w))
2.这条电缆免费:dp[v][p + 1] = min(dp[v][p +1], dp[u][p])
不过这是在图上dp,转移不能保证无后效性,因此我们可以利用spfa或dijkstra使dp有一个合理的顺序,因为最短路算法跑出来的是一个DAG,而dp状态之间的转移实质上就是在一个DAG上转移。
因为spfa他死了,所以我就用dijkstra写:考虑当前的“最短路”,不是单纯的dis,而是当前最优的dp[i][j],因此我们要开一个结构体优先队列,里面有dp[i][j], i 和 j。然后按dp[i][j]排序。
另外朴素的dijkstra是如果节点u出队了就不在入队,然而这道题需要开两维,in[i][j]表示节点 i ,j 个电话线免费的这个状态是否出队过。
具体看代码吧,挺好懂。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-;
const int maxn = 1e3 + ;
inline ll read()
{
ll ans = ;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();}
while(isdigit(ch)) {ans = ans * + ch - ''; ch = getchar();}
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < ) x = -x, putchar('-');
if(x >= ) write(x / );
putchar(x % + '');
} int n, p, k;
vector<int> v[maxn], c[maxn]; struct Node
{
int _dp, nod, p;
bool operator < (const Node& other)const
{
return _dp > other._dp;
}
};
int dp[maxn][maxn];
bool in[maxn][maxn]; void dijkstra(int s)
{
for(int i = ; i <= n; ++i)
for(int j = ; j <= n; ++j) dp[i][j] = INF;
dp[s][] = ;
priority_queue<Node> q;
q.push((Node){dp[s][], s, });
while(!q.empty())
{
int now = q.top().nod, p = q.top().p; q.pop();
if(in[now][p]) continue;
in[now][p] = ;
for(int i = ; i < (int)v[now].size(); ++i)
{
int to = v[now][i];
if(dp[to][p] > max(dp[now][p], c[now][i]))
{
dp[to][p] = max(dp[now][p], c[now][i]);
q.push((Node){dp[to][p], to, p});
}
if(p < k && dp[to][p + ] > dp[now][p])
{
dp[to][p + ] = dp[now][p];
q.push((Node){dp[to][p + ], to, p + });
}
}
}
write(dp[n][k] == INF ? - : dp[n][k]); enter;
} int main()
{
n = read(); p = read(); k = read();
for(int i = ; i <= p; ++i)
{
int x = read(), y = read(), co = read();
v[x].push_back(y); c[x].push_back(co);
v[y].push_back(x); c[y].push_back(co);
}
dijkstra();
return ;
}
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