[USACO08JAN]Telephone Lines

嘟嘟嘟

题意概括一下，就是在无向图上求一条1到n的路径，使路径上第k + 1大的边权尽量小。

考虑dp，令dp[i][j] 表示走到节点 i，路线上有 j 条电话线免费时，路径上最贵的电缆花费最小是多少。则对于一条从u到v，长度为w的边，转移方程是：

　　　　1.这条电缆要付费：dp[v][p] = min(dp[v][p], max(dp[u][p], w))

　　　　2.这条电缆免费：dp[v][p + 1] = min(dp[v][p +1], dp[u][p])

不过这是在图上dp，转移不能保证无后效性，因此我们可以利用spfa或dijkstra使dp有一个合理的顺序，因为最短路算法跑出来的是一个DAG，而dp状态之间的转移实质上就是在一个DAG上转移。

因为spfa他死了，所以我就用dijkstra写：考虑当前的“最短路”，不是单纯的dis，而是当前最优的dp[i][j]，因此我们要开一个结构体优先队列，里面有dp[i][j], i 和 j。然后按dp[i][j]排序。

另外朴素的dijkstra是如果节点u出队了就不在入队，然而这道题需要开两维，in[i][j]表示节点 i ，j 个电话线免费的这个状态是否出队过。

具体看代码吧，挺好懂。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cctype>
 #include<vector>
 #include<stack>
 #include<queue>
 using namespace std;
 #define enter puts("")
 #define space putchar(' ')
 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const db eps = 1e-;
 const int maxn = 1e3 + ;
 inline ll read()
 {
     ll ans = ;
     char ch = getchar(), last = ' ';
     while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();}
     while(isdigit(ch)) {ans = ans *  + ch - ''; ch = getchar();}
     if(last == '-') ans = -ans;
     return ans;
 }
 inline void write(ll x)
 {
     if(x < ) x = -x, putchar('-');
     if(x >= ) write(x / );
     putchar(x %  + '');
 }
 
 int n, p, k;
 vector<int> v[maxn], c[maxn];
 
 struct Node
 {
     int _dp, nod, p;
     bool operator < (const Node& other)const
     {
         return _dp > other._dp;
     }
 };
 int dp[maxn][maxn];
 bool in[maxn][maxn];
 
 void dijkstra(int s)
 {
     for(int i = ; i <= n; ++i)
         for(int j = ; j <= n; ++j) dp[i][j] = INF;
     dp[s][] = ;
     priority_queue<Node> q;
     q.push((Node){dp[s][], s, });
     while(!q.empty())
     {
         int now = q.top().nod, p = q.top().p; q.pop();
         if(in[now][p]) continue;
         in[now][p] = ;
         for(int i = ; i < (int)v[now].size(); ++i)
         {
             int to = v[now][i];
             if(dp[to][p] > max(dp[now][p], c[now][i]))
             {
                 dp[to][p] = max(dp[now][p], c[now][i]);
                 q.push((Node){dp[to][p], to, p});
             }
             if(p < k && dp[to][p + ] > dp[now][p])
             {
                 dp[to][p + ] = dp[now][p];
                 q.push((Node){dp[to][p + ], to, p + });
             }
         }
     }
     write(dp[n][k] == INF ? - : dp[n][k]); enter;
 }
 
 int main()
 {
     n = read(); p = read(); k = read();
     for(int i = ; i <= p; ++i)
     {
         int x = read(), y = read(), co = read();
         v[x].push_back(y); c[x].push_back(co);
         v[y].push_back(x); c[y].push_back(co);
     }
     dijkstra();
     return ;
 }