HDU4918 Query on the subtree 点分治+树状数组
There are q operations. Each operations are of the following 2 types:
Change the weight of vertex v into x (denoted as "! v x"),
Ask the total weight of vertices whose distance are no more than d away from vertex v (denoted as "? v d").
Note that the distance between vertex u and v is the number of edges on the shortest path between them.
InputThe input consists of several tests. For each tests:
The first line contains n,q (1≤n,q≤10 5). The second line contains n integers w 1,w 2,…,w n (0≤w i≤10 4). Each of the following (n - 1) lines contain 2 integers a i,b i denoting an edge between vertices a i and b i (1≤a i,b i≤n). Each of the following q lines contain the operations (1≤v≤n,0≤x≤10 4,0≤d≤n).
OutputFor each tests:
For each queries, a single number denotes the total weight.Sample Input
4 3
1 1 1 1
1 2
2 3
3 4
? 2 1
! 1 0
? 2 1
3 3
1 2 3
1 2
1 3
? 1 0
? 1 1
? 1 2
Sample Output
3
2
1
6
6
题意:给你一棵树,N个点,每个点一个权值,然后Q组操作(共两种),第一种是求导一个节点距离不超过d的所有点的权值和是多少;第二种操作时,修改一个点的权值;
题解:多次进行操作1。此时不能每次都O(NlogN)了,太慢了。我们考虑到对于点分治,树的重心一共有logN层,第一层为整棵树的重心,第二层为第一层重心的子树的重心,以此类推,每次至少分成两个大小差不多的子树,所以
一共有logN层。而且,对于一个点,他最多只属于logN个子树,也就是最多只属于logN个重心。所以我们可以预处理出每个点所属于的重心以及到这些重心的距离,以每个重心建树状数组,每个点按照到重心的距离插入到树状数组中,
然后每次查询到u距离不超过d的点的个数就通过树状数组求前缀和得到。假设一个重心x到u的距离为dis,那么便统计到重心x距离不超过d-dis的点的个数,这个过程我们称之为“借力”,本身能力有限,所以需要借助x的影响力。因为
如果这个重心被u借力了,那么这个重心的子重心一定也被借力,由于相邻被借力的两个重心x、y所统计的点会有重复,所以我们需要去重。去重的话我们就通过对每个节点再开一个v对x的树状数组,这个树状数组的意义为:重心x的子
树v的重心为y时,子树v中每个点到x的距离为下标建立的树状数组。因为重心x与重心y交集的部分,重心x包括的部分重心y一定包括,所以统计的时候减去v对x的树状数组中距x不超过d-dis的点的个数即可。访问u所属与的所有重心,
挨个借力,同时去重,便能得到距离u不超过d的点的个数。因为重心最多logN层,每个树状数组最多N个点,logN复杂度的统计,所以每次查询复杂度O(logN*logN)。我们最多为每个节点开2个树状数组,而且每一层所有树状数组的
大小相加不超过N,所以树状数组的占用空间为O(2NlogN)。
在上面的基础上稍做扩充。预处理的时候插入树状数组的就是该点的权值,查询依旧是统计前缀和。修改点权值的时候,便是和查询一样,在u距重心x距离d的位置在x的树状数组中修改u的权值,同时修改u属于重心x的子树v的v对x的树
状数组中相同位置的值。复杂度和查询一样为O(logN*logN)。
参考代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
#define lowbit(x) (x&-x) typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+;
int n,q,w[maxn];
char op[];
struct MSG{
int id1,id2;
int dep;
} msg[maxn][];
struct Edge{
int v,nxt;
} edge[maxn<<];
int vis[maxn],head[maxn],tot;
int root,siz[maxn],mx[maxn],fa[maxn],S;
int maxfloor[maxn],idn,L[maxn<<],R[maxn<<];
int c[maxn*];
void Init()
{
S=n;idn=;
tot=root=;
memset(c,,sizeof c);
memset(vis,,sizeof vis);
memset(w,,sizeof w);
memset(head,-,sizeof head);
memset(msg,,sizeof msg);
}
void AddEdge(int x,int y)
{
edge[tot].v=y;
edge[tot].nxt=head[x];
head[x]=tot++;
} void Add(int l,int r,int pos,int val)
{
while(pos<r-l)
c[l+pos]+=val,pos+=lowbit(pos);
}
int Sum(int l,int r,int len)
{
if(len<) return ;
if(len>r-l-) len=r-l-;
int res=;
while(len) res+=c[l+len],len-=lowbit(len);
return res;
} void getroot(int u,int fa)
{
siz[u]=;mx[u]=;
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(vis[v]||v==fa) continue;
getroot(v,u);
siz[u]+=siz[v];
mx[u]=max(mx[u],siz[v]);
}
mx[u]=max(mx[u],S-siz[u]);
if(mx[u]<mx[root]) root=u;
} int getmaxdep(int u,int fa)
{
int res=;
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(vis[v]||v==fa) continue;
res=max(res,+getmaxdep(v,u));
}
return res;
}
void dfs(int u,int fa,int deep,int id,int flor,int tp)
{
if(!tp) msg[u][flor].id1=id;
else msg[u][flor].id2=id;
msg[u][flor].dep=deep;
Add(L[idn],R[idn],deep,w[u]);
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(!vis[v]&&v!=fa) dfs(v,u,deep+,id,flor,tp);
}
}
void solve(int u,int s,int flor)
{
vis[u]=; maxfloor[u]=flor;
idn++; L[idn]=R[idn-];
R[idn]=L[idn]+getmaxdep(u,)+;
dfs(u,,,idn,flor,);
msg[u][flor].id2=-;
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
idn++;L[idn]=R[idn-];
R[idn]=L[idn]+getmaxdep(v,u)+;
dfs(v,u,,idn,flor,);
} for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
S=siz[v]; root=;
if(siz[v]>siz[u]) S=s-siz[u];
getroot(v,u);
solve(root,siz[v],flor+);
}
} int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&q))
{
Init();
for(int i=;i<=n;++i) scanf("%d",w+i);
for(int i=;i<n;++i)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
AddEdge(x,y);AddEdge(y,x);
}
mx[root]=INF;
getroot(,);
solve(,S,);
while(q--)
{
int x,y,ans;
scanf("%s%d%d",&op,&x,&y);
if(op[]=='?')
{
ans=;
for(int f=;f<=maxfloor[x];++f)
{
int id1=msg[x][f].id1;
int id2=msg[x][f].id2;
int dep=msg[x][f].dep;
ans+=Sum(L[id1],R[id1],y+-dep);
if(id2!=-) ans-=Sum(L[id2],R[id2],y+-dep);
}
printf("%d\n",ans);
}
else
{
for(int f=;f<=maxfloor[x];++f)
{
int id1=msg[x][f].id1;
int id2=msg[x][f].id2;
int dep=msg[x][f].dep;
Add(L[id1],R[id1],dep,y-w[x]);
if(id2!=-) Add(L[id2],R[id2],dep,y-w[x]);
}
w[x]=y;
}
}
} return ;
}
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