Bzoj 2839 集合计数 题解

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

　　一开始想到的状态数组是f[i]，代表我们取交集共选了i个数，但是转移还要去枚举有几个集合，好像挺不靠谱的……

　　一看正解，连状态数组都不用，让我想到了10.9考试 第一题建造城市的打法。

　　我们同样，先从n个数里提前选出k个数，然后去枚举多出来的集合的交集至少是多少，仍然奇减偶加，假设我们当前要求的是交集多出至少为x的方案数，那么就是：

　　　　(2^(2^(n-k-x))-1)*C(n-k,x)。

　　在(2^(2^(n-k-x))-1)即表示在除去k+x个数后的2^(n-k-x)集合中选集合的方案数，由于我们不能一个都不选，所以还得减去全部不选的情况。C(n-k,x)就是在剩下n-k个数中选出x个数的方案数，最后在将总和乘以在n个数中选k个数的方案数。

 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <map>
 #define N 1000005
 using namespace std;
 int n,k,p=;
 long long jc[N],ni[N],xp[N];
 long long ksm(long long x,long long z)
 {
     long long ans=;
     while(z>)
     {
         if(z&)
         {
             ans*=x;
             ans%=p;
         }
         x*=x;x%=p;
         z>>=;
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&k);
     jc[]=;xp[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         jc[i]=(jc[i-]*i)%p;
         xp[i]=(xp[i-]*)%p;
     }
     ni[n]=ksm(jc[n],p-);
     for(int i=n-;i>=;i--)ni[i]=(ni[i+]*(i+))%p;
     ni[]=;long long now=;
     long long ans=;
     for(int i=n-k;i>=;i--)
     {
         long long tmp=((((now-)*jc[n-k]%p)*ni[i]%p)*ni[n-k-i])%p;
         if(i&)ans=(ans-tmp+p)%p;
         else
         {
             ans+=tmp;
             ans%=p;
         }
         now*=now;
         now%=p;
     }
     ans*=((jc[n]*ni[k])%p*ni[n-k])%p;
     ans%=p;
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }